Iwasawa-teori

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom talteori är Iwasawa-teori en teori för Galoismoduler av idealklassgrupper. Teorin påbörjades på 1950-talet av Kenkichi Iwasawa som en del av teorin om cyklotomiska kroppar. På 1970-talet undersökte Barry Mazur generaliseringar av Iwasawateorin till abelska varieteter.

Iwasawa utgick från observationen att det inom algebraisk talteori finns följder av utvidgningskroppar som har Galoisgrupp som är isomorf med den additiva gruppen av p-adiska heltal.

Formulering[redigera | redigera wikitext]

Iwasawa undersökte så kallade \mathbb{Z}_p-utvidgningar: oändliga utvidgningar av en algebraisk talkropp  F med Galoisgrupp  \Gamma isomorfisk till den additiva gruppen av p-adiska tal för något primtal p. Varje sluten delgrupp av  \Gamma är av formen  \Gamma^{p^n} , så enligt Galoisteori är en  \mathbb{Z}_p -utvidgning  F_\infty/F samma sak som en oändlig serie kroppar  F = F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \ldots \subset F_\infty så att \textrm{Gal}(F_n/F)\cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}. Iwasawa undersökte klassiska Galoismoduler över  F_n genom att ställa frågor om strukturen av moduler över F_\infty.