Kategoriteori
Kategoriteori är en gren av den moderna matematiken. Kategorier definierades först 1945 av Samuel Eilenberg och Saunders MacLane i samband med studier om relationen mellan topologi och algebra.
En (lokalt liten) kategori ges av två data: en klass av objekt och, för varje par av objekt X och Y, en mängd av morfismer eller morfier från X till Y. Morfismer illustreras ofta som pilar mellan dessa objekt. Detta beteckningssätt kommer sig av att ofta objekten i kategorin består av mängder med någon extra struktur, och morfismerna består av funktioner mellan objekt som uppfyller något villkor med avseende på strukturerna. Dock behöver bland annat objekt i kategorier inte bestå av mängder, i vilket fall finns det finns fler typer av morfismer.
Konkreta kategorier
I många kategorier består objekten av mängder med någon extra struktur, och morfismerna av sådana vanliga funktioner mellan objekt som "respekterar" strukturerna. Sådana kategorier kallas konkreta.
Den formella definitionen är litet generellare, men därför också abstraktare. En konkret kategori definieras som ett par (C,U), där C är en kategori, och U är en (kovariant) trogen funktor från C till kategorin Set av mängder med vanliga mängdavbildningar som morfismer. Kategorin C är konkretiserbar om det finns en sådan funktor U, och varje sådant U är en konkretisering av kategorin C.
Funktorer
Givet två kategorier C och D, så är en funktor F ett par av tillordningar (F0,F1) där F0 avbildar objekt i C på objekt i D och F1 avbildar morfier i C på morfier i D.