Pappos Guldins regel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematik, och fysik är Guldins regel (även känd som Guldins sats, Pappus centroid-sats, eller Pappus-Guldins sats) namnet på ett enkelt sätt att räkna ut ytan hos en rotationssymmetrisk kropp, eller volymen av en rotationssymmetrisk kropp. Den har fått sitt namn eftersom den studerats av både Pappos av Alexandria och Paul Guldin. Man använder den linje som ritar ut ytan vid rotation, eller den yta som täcker volymen vid rotation, och dessas tyngdpunkt. Med hjälp av dessa kan man räkna ut rotationsytan eller rotationsvolymen med vanlig multiplikation. Ett annat sätt (när man inte har tillgång till linjens längd eller tyngdpunkt) ges av Rotationsvolym.

Rotationsyta[redigera | redigera wikitext]

Ytarean S för en rotationsyta är lika med produkten av bågens längd L genererat av kurvan och avståndet d som tillryggalagts av kurvans geometriska tyngdpunkt. Ytan på revolutionen skapas av rotationen av en kurva om en godtycklig axel. Denna regel kallas även den första satsen av Pappus eller Guldin första regeln.(Se, http://matmin.kevius.com/klot.php)

Volymen av en solid revolution[redigera | redigera wikitext]

Volymen V av en fast substans av revolution är lika med produkten av området den roterade formen och den sträcka som formens geometriska centroid. Volymen av revolutionen skapas av rotationen av en godtycklig form kring en extern axel. Denna regel kallas även den andra satsen av Pappus eller Guldin näst regel.

Ett område D ligger helt på en sida om linjen L. Områdets tyngdpunkt är markerad.

Regel[redigera | redigera wikitext]

Med Pappos Guldins regel kan man beräkna volymen av en rotationskropp. Om D är ett plant område som ligger helt på en sida om linjen L, då ges volymen av den kropp som uppstår då D roteras ett varv kring L av

A(D)=2\pi d

där A(D) är arean av D och d är tyngdpunktens avstånd till rotationsaxeln.

Man kan tänka sig att då området D roteras kring linjen L så rör sig tyngdpunkten sträckan 2\pi d. Då är det troligt att volymen av rotationskroppen ges av

D:s area gånger tyngdpunktens väg vid rotation. [1]

Exempel volymrotationer och rotationsareor[redigera | redigera wikitext]

I exemplet nedan ska vi roterar en kurva kring en sned linje. Vi bestämmer volymen för kroppen som alstras med hjälp av Pappos-Guldins regel: Volymen = tyngdpunktensväg · arean Området D = {(x,y): x^2 + y\ge 1, x + y\le 1} roteras ett varv kring linjen x + y = 1. Beräkna volymen av rotationskroppen. Lösning: Figur: Rotationskroppen (till höger)[2]

Rotationskropp

Flera satser av Paul Guldin & Pappus av Alexandria[redigera | redigera wikitext]

Inom matematik, fysik och logik är Pappus "centroid-satsen" (även känd som Guldinus teori, Pappus-Guldinus teori eller Pappus sats) antingen av de två relaterade satserna som behandlar: ytors area och volymer av ytor och fasta ämnen av revolution. Satsen skrivs med egenskaper från både Pappus av Alexandria och Paul Guldins.

Den första satsen[redigera | redigera wikitext]

A = sd Den första satsen konstaterar ytansarea A av en rotationsyta som genereras genom att rotera ett C plan kurva runt en axel utanför C och i samma plan är lika med produkten av båglängden s av C och avståndet d som förflyttas av dess geometriska centroiden.

Till exempel är den ytansarea av torusen med mindre radie r och större radie R  A = (2\pi r)(2\pi R) = 4\pi^2 Rr

Den andra satsen[redigera | redigera wikitext]

V = Ad Den andra satsen konstaterar volymen V av en rotationskropp som alstras genom att rotera en F planets figur omkring en yttre axel som är lika med produkten av området A av F och avståndet d som förflyttas av den geometriska tyngdpunkten.

Till exempel är den volym av torusen med mindre radie r och större radie R  V = (\pi r^2)(2\pi R)= 2 \pi^2 Rr^2[3]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Forsling, Göran och Neymark, Mats, "Matematisk analys en variabel", 2011, MAI (Linköpings Universitet), Liber ISBN 978-91-47-10023-1
  2. ^ webstaff.itn.liu.se/~geoba/TNA008/Forelasningar/F13.pdf
  3. ^ http://en.wikipedia.org/wiki/Guldinus_theorem