Andragradsyta

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

I matematik är en andragradsyta, en D-dimensionell hyperyta definierad som lösningsmängden till ett kvadratiskt polynom. Med koordinater {x0, x1, x2, …, xD} definieras den allmänna andragradsytan av ekvationen


\sum_{i,j=0}^D Q_{i,j}  x_i  x_j + \sum_{i=0}^D P_i  x_i + R = 0

där Q är en D+1 dimensionell matris, P är en D+1 dimensionell vektor, och R en konstant. Värdena Q, P och R tas ofta som reella tal eller komplexa tal.

I normalform skrivs en tre-dimensionell (D=3) andragradsyta centrerad i origo (0,0,0) som:


\frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} \pm \frac{z^2}{c^2}=1

Med translationer och rotationer kan varje andragradsyta transformeras till en av flera normalformer. I det tre-dimensionella euklidiska rummet finns 16 sådana normalformer. De mest intressanta är följande:

Yta Ekvation Plot
Ellipsoid \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \, Quadric Ellipsoid.jpg
Rotationsellipsoid eller sfäroid (specialfall av ellipsoid)    \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1 \,
Sfär (specialfall av rotationsellipsoid) \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{a^2} = 1 \,
Elliptisk paraboloid \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - z = 0 \, Quadric Elliptic Paraboloid.jpg
Cirkulär paraboloid (specialfall av elliptisk paraboloid) \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} - z = 0  \,
Hyperbolisk paraboloid \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - z = 0  \, Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg
Enmantlad hyperboloid \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \, Quadric Hyperboloid 1.jpg
Tvåmantlad hyperboloid \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1 \, Quadric Hyperboloid 2.jpg
kon \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \, Quadric Cone.jpg
Elliptisk cylinder \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \, Quadric Elliptic Cylinder.jpg
Cirkulär cylinder (specialfall av elliptisk cylinder) \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1  \,
Hyperbolisk cylinder \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \, Quadric Hyperbolic Cylinder.jpg
Parabolisk cylinder x^2 + 2y = 0 \, Quadric Parabolic Cylinder.jpg

Se även[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

  • [1], Quadrics in Geometry Formulas and Facts av Silvio Levy, utdrag från 30:e upplagan av "CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press)".
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.