Kvadratisk form

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
En enmantlad hyperboloid som kan beskrivas av ekvationen ax^2+by^2-cz^2=1, dvs alla punkter (x,y,z) där den kvadratiska formen är lika med 1.

En kvadratisk form är ett homogent polynom av andra graden. Allmänt kan det skrivas

\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^n c_{ij} x_ix_j

där c_{ij} är konstanter och x_i variabler.

Varje kvadratisk form av två variabler x och y kan alltså skrivas  ax^2 + bxy + cy^2 , för några tal a, b och c.

Formen kallas definit, om tecknet är detsamma för alla talpar x och y där ett av talen inte är noll. Till exempel är uttrycket ax^2+bx^2 positivt definit, om a > 0 och b > 0 eftersom det är positivt för alla värden på x och y förutom då båda är noll. ax^2 för a > 0 är positivt semidefinit eftersom det är positivt eller noll för alla x och y.

Huruvida en kurva är negativt definit respektive positivt definit kan lättast ses genom kvadratkomplettering.

Teorin för de kvadratiska formerna, som bland annat sysselsätter sig med frågan, hur den kvadratiska formen förhåller sig vid införande av nya variabler, är av grundläggande betydelse för de flesta områden av matematiken. Teoriens systematiska utveckling är väsentligen ett verk av 1800-talets matematiker, främst Carl Friedrich Gauss, Karl Weierstrass och Leopold Kronecker.


Källor[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.