Kvadratisk form

En enmantlad hyperboloid som kan beskrivas av ekvationen $ax^2+by^2-cz^2=1$, dvs alla punkter (x,y,z) där den kvadratiska formen är lika med 1.

En kvadratisk form är ett homogent polynom av andra graden. Allmänt kan det skrivas

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^n c_{ij} x_ix_j$

där $c_{ij}$ är konstanter och $x_i$ variabler.

Varje kvadratisk form av två variabler x och y kan alltså skrivas $ax^2 + bxy + cy^2$, för några tal a, b och c.

Formen kallas definit, om tecknet är detsamma för alla talpar x och y där ett av talen inte är noll. Till exempel är uttrycket $ax^2+bx^2$ positivt definit, om $a > 0$ och $b > 0$ eftersom det är positivt för alla värden på x och y förutom då båda är noll. $ax^2$ för $a > 0$ är positivt semidefinit eftersom det är positivt eller noll för alla x och y.

Huruvida en kurva är negativt definit respektive positivt definit kan lättast ses genom kvadratkomplettering.

Teorin för de kvadratiska formerna, som bland annat sysselsätter sig med frågan, hur den kvadratiska formen förhåller sig vid införande av nya variabler, är av grundläggande betydelse för de flesta områden av matematiken. Teoriens systematiska utveckling är väsentligen ett verk av 1800-talets matematiker, främst Carl Friedrich Gauss, Karl Weierstrass och Leopold Kronecker.

Denna artikel är helt eller delvis baserad på material från Nordisk familjebok, 1904–1926.