Bisektris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Bisektriser i en triangel (de räta gröna linjerna).
Konstruktion med passare och rätskiva.

En bisektris till en vinkel \angle ABC är en stråle från B genom en punkt D sådan att \angle ABD=\angle DBC. En bisektris delar en vinkel mitt itu (bisektris betyder "dela i två delar"). En vinkel har endast en bisektris. Varje punkt på en vinkels bisektris har samma avstånd till vinkelns sidor. Om en stråle delar en vinkel mindre än 180^{\circ} säger man att strålen är en inre bisektris. Den yttre bisektrisen är strålen som delar en vinkels komplementvinkel mitt itu.

För att konstruera en vinkels bisektris med passare och rätskiva dras en cirkel vars centrum är vertex. Cirkeln korsar vinkelns sidor i två punkter. Med dessa två punkter som centrum, rita två cirklar med samma storlek som den första. Skärningspunkterna för cirklarna bestämmer en stråle som är vinkelns bisektris. Värt att notera är att en vinkel inte kan delas i tre lika stora delar med endast passare och rätskiva (detta bevisades först av Pierre Wantzel).

Triangel[redigera | redigera wikitext]

De tre bisektriserna till hörnen i en triangel skär varandra i en punkt, centrum för trianglens inskrivna cirkel.

Bisektrissatsen[redigera | redigera wikitext]

En bisektris delar motstående sida i samma proportioner som längderna av de sidor som bildar den delade vinkeln:

\frac{b}{c}=\frac{x}{y}

Bisektrisens längd[redigera | redigera wikitext]

Om sidlängderna i en triangel är a,b,c, halva omkretsen s=(a+b+c)/2, och A är motstående vinkel till sidan a, då är längden av bisektrisen till vinkeln A

t_a=\frac{2\sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}

Om bisektrisen till vinkeln A i triangeln ABC har längden t_a och delar delar motstående sida i två delar med längd m och n, då är

t_{a}^2+mn=bc

där b och c är sidor motstånde till hörnen B och C.

Om bisektriserna till vinklarna A, B och C har längderna t_a, t_b och t_c, då är

\frac{(b+c)^2}{bc}t_a^2+\frac{(a+c)^2}{ac}t_b^2+\frac{(a+b)^2}{ab}t_c^2=(a+b+c)^2

Inga två icke-kongruenta trianglar har samma mängd av bisektriser.