Bisektris

Bisektriserna till en triangel (röda linjer) skär varandra i en punkt

Konstruktion med passare och rätskiva.

En bisektris till en vinkel $\angle ABC$ är en stråle från B genom en punkt D sådan att $\angle ABD=\angle DBC$. En bisektris delar en vinkel i två lika delar (bisektris betyder "dela i två delar"). En vinkel har endast en bisektris. Varje punkt på en vinkels bisektris har samma avstånd till vinkelns sidor. Om en stråle delar en vinkel mindre än $180^{\circ }$ säger man att strålen är en inre bisektris. Den yttre bisektrisen är strålen som delar en vinkels supplementvinkel i två lika delar.

För att konstruera en vinkels bisektris med passare och rätskiva dras en cirkel vars centrum är vertex. Cirkeln korsar vinkelns sidor i två punkter. Med dessa två punkter som centrum, rita två cirklar med samma storlek som den första. Skärningspunkterna för cirklarna bestämmer en stråle som är vinkelns bisektris. Värt att notera är att en godtycklig vinkel inte kan delas i tre lika stora delar med endast passare och rätskiva (detta bevisades först av Pierre Wantzel).

Triangel

De tre bisektriserna till hörnen i en triangel skär varandra i en punkt, centrum för trianglens inskrivna cirkel. Bisektriserna till en triangel är cevianer. De tre skärningspunkterna med vinklarnas motstående sidor har de trilinjära koordinaterna $(0,1,1),\ (1,0,1)$ respektive $(1,1,0)$.

Bisektrissatsen

Figur 1: Bisektrissatsen: b/c = x/y. $t_{\alpha }$ betecknar bisektrisens längd

En bisektris delar motstående sida i samma proportioner som längderna av de sidor som bildar den delade vinkeln:

${\frac {b}{c}}={\frac {x}{y}}\quad$ (1)

Drag linjen CD parallell med sidan AB och dra ut bisektrisen till skärningspunkten med D (se figur 1). Då är triangeln ACD likbent eftersom dess vinklar i A och D är lika och sidan AC har således samma längd som CD. Trianglarna CDE och ABE är likformiga och sambandet (1) följer.

Bisektrisens längd

Om sidlängderna i en triangel är $a,b,c,$ är semiperimetern (halva omkretsen) $s=(a+b+c)/2$ och om $A$ är motstående hörn till sidan $a$, då är längden av bisektrisen till vinkeln $\alpha$ i $A$ (figur 1):

$t_{a}={\sqrt {bc\left(1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}}\right)}}={\frac {2{\sqrt {b\,c\,s(s-a)}}}{b+c}}$

Härledning

Med hjälp av bisektrissatsen får vi:

$a=x+y=x+{\frac {cx}{b}}\Leftrightarrow x={\frac {ab}{b+c}}$ (1) och, likaledes,

$y={\frac {ac}{b+c}}$ (2)

Stewarts sats ger:

$b^{2}y+c^{2}x=a({t_{a}}^{2}+xy)$ (3)

Insättning av (1) och (2) i (3) ger

$b^{2}{\frac {ac}{b+c}}+c^{2}{\frac {ab}{b+c}}=a\left({t_{a}}^{2}+{\frac {ab}{b+c}}\cdot {\frac {ac}{b+c}}\right)=a\left({t_{a}}^{2}+{\frac {a^{2}bc}{(b+c)^{2}}}\right)\Leftrightarrow$

${\frac {b+c}{b+c}}\cdot abc=a\left({t_{a}}^{2}+{\frac {a^{2}bc}{(b+c)^{2}}}\right)\Leftrightarrow$

$bc={t_{a}}^{2}+{\frac {a^{2}bc}{(b+c)^{2}}}\Leftrightarrow$ (ur detta steg fås enkelt $t_{a}={\sqrt {bc\left(1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}}\right)}}$.)

${t_{a}}^{2}=bc-{\frac {a^{2}bc}{(b+c)^{2}}}={\frac {bc(b+c)^{2}-a^{2}bc}{(b+c)^{2}}}={\frac {bc((b+c)^{2}-a^{2})}{(b+c)^{2}}}$ (4)

Insättning av $s={\frac {a+b+c}{2}}\Leftrightarrow b+c=2s-a$ ger vidare

${t_{a}}^{2}={\frac {bc((2s-a)^{2}-a^{2})}{(b+c)^{2}}}-a^{2}={\frac {bc(4s^{2}-4sa+a^{2}-a^{2})}{(b+c)^{2}}}={\frac {4bcs(s-a)}{(b+c)^{2}}}\Leftrightarrow$

$t_{a}={\frac {2{\sqrt {b\,c\,s(s-a)}}}{b+c}}$

Tangentens längd fås också med hjälp av nedanstående trigonometriska funktion,

$t_{a}={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {\alpha }{2}}$

Härledning

Fås ur (4) ovan, cosinussatsen i formen $b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bc\cdot \cos \alpha$ och $\cos \alpha =2\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1$ ty

${\begin{aligned}bc((b+c)^{2}-a^{2})&=bc(b^{2}+c^{2}+2bc-a^{2})=bc(2bc\cdot \cos \alpha +2bc)=\\&=2b^{2}c^{2}(\cos \alpha +1)=2b^{2}c^{2}(2\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1+1)=4b^{2}c^{2}\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\Rightarrow \end{aligned}}$

${t_{a}}^{2}={\frac {bc((b+c)^{2}-a^{2})}{(b+c)^{2}}}={\frac {4b^{2}c^{2}\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{(b+c)^{2}}}\Leftrightarrow$

$t_{a}={\frac {2bc\cdot \cos {\frac {\alpha }{2}}}{b+c}}$

Om bisektrisen till vinkeln $A$ i triangeln $ABC$ har längden $t_{a}$ och delar motstående sida i två delar med längd $x$ och $y,$ då är

$t_{a}^{2}=bc-xy$

där $b$ och $c$ är sidor motstående till hörnen $B$ och $C$.

Om bisektriserna till vinklarna $A,$ $B$ och $C$ har längderna $t_{a},$ $t_{b}$ och $t_{c},$ då är

${\frac {(b+c)^{2}}{bc}}t_{a}^{2}+{\frac {(a+c)^{2}}{ac}}t_{b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}t_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}$

Till tre bisektriser med givna längder finns alltid en och endast en triangel.