Elementär ekvivalens

Elementär ekvivalens är ett begrepp inom modellteori.

Elementärt ekvivalenta strukturer

Två formella strukturer $\underline{A}$ och $\underline{B}$ är elementärt ekvivalenta, i symboler $\underline{A} \equiv \underline{B}$, om $\underline{A}$ och $\underline{B}$ satisfierar samma första ordningens satser.

En första ordningens teori är fullständig om och endast om alla dess modeller är elementärt ekvivalenta.

Elementära delstrukturer och elementära extensioner

$\underline{A}$ är en elementär delstruktur till $\underline{B}$ ($\underline{B}$ är en elementär extension av $\underline{A}$), i symboler $\underline{A}\preceq \underline{B}$, om det för alla första ordningens formler $\varphi(x_1, \dots, x_n)$ och element $a_1, \dots, a_n \in A$ gäller att

$\underline{A} \models \varphi(a_1,\dots,a_n)$ omm $\underline{B} \models \varphi(a_1,\dots,a_n)$.

Elementära inbäddningar

$\underline{A}$ är elementärt inbäddbar i $\underline{B}$, om det finns en elementär delstruktur till $\underline{B}$ som är isomorf med $\underline{A}$