Enhetsrot

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
De femte enhetsrötterna i det komplexa talplanet.

I matematik är en (n:te) enhetsrot en lösning till en ekvation av utseendet xn = 1, där n är något positivt heltal. I allmänhet avses då lösningar som är komplexa tal.

De n:te enhetsrötterna ligger utspridda jämnt på enhetscirkeln. De kan enkelt beskrivas på polär form, som

e^{{2k\pi \over n}i} = \cos {2k\pi \over n} + i \sin {2k\pi \over n}\,,\quad k = 0,\ldots,n-1\,.

Det är dock ibland intressantare att ange real- och imaginärdelarna direkt, som algebraiska uttryck. Exempelvis är de tredje enhetsrötterna

1, {-1 + \sqrt{3} i \over 2} och {-1 - \sqrt{3} i \over 2},

och de fjärde enhetsrötterna är helt enkelt 1, i, -1 och -i.

Primitiva enhetsrötter[redigera | redigera wikitext]

En n:te enhetsrot ω är en primitiv n:te enhetsrot, om x = ω inte är en lösning på en ekvation xm = 1 för något positivt heltal m som är strikt mindre än n. Exempelvis är -1 en fjärde enhetsrot, därför att (-1)4 = 1, men -1 är inte en primitiv fjärde enhetsrot, eftersom även (-1)2 = 1. De primitiva tredje enhetsrötterna är {-1 + \sqrt{3} i \over 2} och {-1 - \sqrt{3} i \over 2}, och de primitiva fjärde enhetsrötterna är -i och i.

Litet abstraktare kan de primitiva n:te enhetsrötterna beskrivas som elementen av ordning n i den multiplikativa[förtydliga] gruppen av nollskilda komplexa tal.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.