Generaliserad integral

Definition

En integral $\int \limits_a ^b f(x)dx$ säges vara generaliserad om $f(x)$ inte är definierad, är obegränsad i ett ändligt antal punkter och minst i en punkt på $[a,b]$, eller om en integrationsgräns formellt ersatts med $\infty$ eller $-\infty$. En multipelintegral $\int \ldots \int _D f dx_1 \ldots d_n$ säges vara generaliserad om $f$ är obegränsad, odefinierad i någon del av $D$, eller om $D$ är obegränsad.

Betydelse

Antag att $f(x)$ är definierad på intervallet $[a,b[$. Då definieras $\int _a ^b f(x)dx:=\lim_{c \rightarrow b} \left( \int _a ^c f(x)dx\right)$, $\int _a ^\infty f(x)dx := \lim _{c \rightarrow \infty} \left( \int _a ^c f(x)dx \right)$ och $\int _a ^{-\infty} f(x)dx$ analogt. Alla generaliserade integraler kan överföras till en linjärkombination av de ovanstående tre integralerna. Om $f(\bar{x})\geq 0 \forall \bar{x}\in D$ och $\int \ldots \int _D f dx_1 \ldots d_n$ är generaliserad så definieras $\int \ldots \int _D f dx_1 \ldots d_n:=\lim_{p\rightarrow \infty} \int \ldots \int _{E_p} f dx_1 \ldots d_n$, där $(E_n)$ är en uttömmande svit till $D$. Om $f$ växlar tecken på $D$ så definieras $\int \ldots \int _D f dx_1 \ldots d_n:=\int \ldots \int _{\Omega_+} f dx_1 \ldots d_n - \int \ldots \int _{\Omega_-} f dx_1 \ldots d_n$, där $\Omega_+ \cap \Omega_- = \emptyset \and \Omega_+ \cup \Omega_- = D \and f(\bar{x})\geq 0 \forall \bar{x} \in \Omega_+ \and f(\bar{x})\leq 0 \forall \bar{x} \in \Omega_-$.

Konvergens

En generaliserad integral $\int _a ^b f(x)dx$ säges konvergera om gränsvärdet i definitionen av generaliserad integral existerar ändligt. Om integralen inte konvergerar säges den divergera.

Se även

• Integral
• Multipelintegral