Generaliserad integral

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Definition[redigera | redigera wikitext]

En integral \int \limits_a ^b f(x)dx sägs vara generaliserad om f(x) inte är definierad, är obegränsad i ett ändligt antal punkter och minst i en punkt på [a,b], eller om en integrationsgräns formellt ersatts med \infty eller -\infty . En multipelintegral \int \ldots \int _D f dx_1 \ldots d_n sägs vara generaliserad om f är obegränsad, odefinierad i någon del av D, eller om D är obegränsad.

Betydelse[redigera | redigera wikitext]

Antag att f(x) är definierad på intervallet [a,b[. Då definieras \int _a ^b f(x)dx:=\lim_{c \rightarrow b} \left( \int _a ^c f(x)dx\right),  \int _a  ^\infty f(x)dx := \lim _{c \rightarrow \infty} \left( \int _a ^c f(x)dx \right) och  \int _a ^{-\infty} f(x)dx analogt. Alla generaliserade integraler kan överföras till en linjärkombination av de ovanstående tre integralerna. Om f(\bar{x})\geq 0 \forall \bar{x}\in D och \int \ldots \int _D f dx_1 \ldots d_n är generaliserad så definieras \int \ldots \int _D f dx_1 \ldots d_n:=\lim_{p\rightarrow \infty} \int \ldots \int _{E_p} f dx_1 \ldots d_n , där (E_n) är en uttömmande svit till D. Om f växlar tecken på D så definieras \int \ldots \int _D f dx_1 \ldots d_n:=\int \ldots \int _{\Omega_+} f dx_1 \ldots d_n - \int \ldots \int _{\Omega_-} f dx_1 \ldots d_n, där \Omega_+ \cap \Omega_- = \emptyset \and \Omega_+ \cup \Omega_- = D \and f(\bar{x})\geq 0 \forall \bar{x} \in \Omega_+ \and f(\bar{x})\leq 0 \forall \bar{x} \in \Omega_-.

Konvergens[redigera | redigera wikitext]

En generaliserad integral  \int _a ^b f(x)dx säges konvergera om gränsvärdet i definitionen av generaliserad integral existerar ändligt. Om integralen inte konvergerar säges den divergera.

Se även[redigera | redigera wikitext]