Linjärkombination

Linjärkombinationer är av central betydelse inom linjär algebra och närliggande områden.

Om en vektor $\mathbf{u}$ i ett linjärt rum $\ L$ kan skrivas

$\mathbf{u} = c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2+\dots + c_n\mathbf{v}_n$

där $\ c_1, c_2,\dots, c_n$ är skalärer, är $\mathbf{u}$ en linjärkombination av elementen $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n$.

Exempel

Vektorer

En vektor kan delas upp i komponenter med hjälp av en linjärkombination. Till exempel

$\,(a_1,a_2,a_3)=a_1(1,0,0)+a_2(0,1,0)+a_3(0,0,1)$

Funktioner

Funktioner kan skrivas om i andra funktioner med hjälp av linjärkombination. Ett par enkla exempel är

• $\ \cos x=\frac{1}{2}e^{ix}+\frac{1}{2}e^{-ix}$
• $\ e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Polynom

Om vi väljer

$\ v_1=(x^2,0,0), v_2=(0,x,0), v_3=(0,0,1)$

så kan vi skriva

$\ x^2-2x+3=(x^2,0,0)-2(0,x,0)+3(0,0,1)=v_1-2v_2+3v_3$

Linjärt hölje

Mängden av alla linjärkombinationer av en given familj vektorer kallas ett linjärt hölje. Låt $v_1,\, v_2,..., v_n$ vara vektorer i något vektorrum V och $a_1,\, a_2,..., a_n$ skalärer i någon skalärkropp, K. Då är det linjära höljet

$\ [v_1, v_2,..., v_n]=\{ a_1v_1+a_2v_2+... + a_nv_n:a_1,a_2,...,a_n\epsilon K\}$.

Se även

• Linjärt beroende
• Linjärt oberoende
• Vektorrum
• Linjär avbildning