Golv- och takfunktionerna

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Golvfunktionens graf
Takfunktionens graf

Golv- och takfunktionerna är två funktioner inom talteorin.

Värdet av golvfunktionen \lfloor x \rfloor för något reellt tal x är det största heltal som är mindre än eller lika med x (för positiva tal x ger golvfunktionen helt enkelt heltalsdelen av x).

Exempel:

  • \lfloor 2{,}5 \rfloor = 2
  • \lfloor 2\rfloor = 2
  • \lfloor -2{,}5 \rfloor = -3

Andra beteckningssätt är \operatorname {floor} (x) (av engelska floor ’golv’) och \left[ x \right] \

Takfunktionen \lceil x \rceil ger på motsvarande sätt det minsta heltal som är större än eller lika med x.

Exempel:

  • \lceil 2{,}5 \rceil = 3
  • \lceil 2 \rceil = 2
  • \lceil -2{,}5 \rceil = -2

Ett annat beteckningssätt är \operatorname{ceil}(x) (av engelska ceiling ’(inner)tak’).

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Ramanujan presenterade följande problem i Journal of the Indian Mathematical Society.[1]

Om n är ett positivt heltal, bevisa att

(i)     \left\lfloor\tfrac{n}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+2}{6}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+4}{6}\right\rfloor = \left\lfloor\tfrac{n}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+3}{6}\right\rfloor

(ii)     \left\lfloor\tfrac12 + \sqrt{n+\tfrac12}\right\rfloor = \left\lfloor\tfrac12 + \sqrt{n+\tfrac14}\right\rfloor

(iii)     \left\lfloor\sqrt{n}+ \sqrt{n+1}\right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{4n+2}\right\rfloor.

Användningar[redigera | redigera wikitext]

Formler för primtal[redigera | redigera wikitext]

Talet n är ett primtal om och bara om[2]


\sum_{m=1}^\infty \left(\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}{m}\right\rfloor\right) = 2.

Låt r > 1 vara ett heltal, pn det n-te primtalet, och

\alpha = \sum_{m=1}^\infty p_m r^{-m^2}.

Då är[3]

p_n = \left\lfloor r^{n^2}\alpha \right\rfloor - r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^2}\alpha\right\rfloor.

Det finns ett tal θ = 1.3064... (Mills konstant) så att

\left\lfloor \theta^3 \right\rfloor, \left\lfloor \theta^9 \right\rfloor, \left\lfloor \theta^{27} \right\rfloor, \dots

är alla primtal.[4]

Det finns även ett tal ω = 1.9287800... med egenskapen att

\left\lfloor 2^\omega\right\rfloor, \left\lfloor 2^{2^\omega} \right\rfloor, \left\lfloor 2^{2^{2^\omega}} \right\rfloor, \dots

är alla primtal.[4]

Om π(x) är antalet primtal mindre eller lika stora som x, får man följande formel som en enkel konsekvens av Wilsons sats:[5]

\pi(n) = \sum_{j=2}^n\left\lfloor\frac{(j-1)!+1}{j} - \left\lfloor\frac{(j-1)!}{j}\right\rfloor\right\rfloor.

Om n ≥ 2, är[6]


\pi(n) = \sum_{j=2}^n \left\lfloor \frac{1}{\sum_{k=2}^j\left\lfloor\left\lfloor\frac{j}{k}\right\rfloor\frac{k}{j}\right\rfloor}\right\rfloor.

Ingen av formlerna i denna sektion är dock av någon praktisk betydelse.[7][8]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
  2. ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
  3. ^ Hardy & Wright, § 22.3
  4. ^ [a b] Ribenboim, p. 186
  5. ^ Ribenboim, p. 181
  6. ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
  7. ^ Ribenboim, p.180 says that "Despite the nil practical value of the formulas ... [they] may have some relevance to logicians who wish to understand clearly how various parts of arithmetic may be deduced from different axiomatzations ... "
  8. ^ Hardy & Wright, pp.344—345 "Any one of these formulas (or any similar one) would attain a different status if the exact value of the number α ... could be expressed independently of the primes. There seems no likelihood of this, but it cannot be ruled out as entirely impossible."