Srinivasa Aiyangar Ramanujan

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Aiyangar Ramanujan (Srinivasa Ramanujan), född 22 december 1887 i Erode i nuvarande Tamil Nadu, död i tuberkulos 26 april 1920 i Kumbakonam, var en indisk autodidakt matematiker. Han är mest känd för att han hade en enastående intuitiv förmåga vad gällde arbete med tal och formler.

En ofta berättad anekdot är den när hans vän, den engelske matematikern G.H. Hardy, kom till honom då han låg sjuk. Hardy sade att han hade åkt med en taxi med nummer 1729, vilket syntes Hardy vara ett helt ointressant tal. Ramanujan svarade då genast att det tvärtom är ett mycket intressant tal, då det är det minsta heltal som kan skrivas som summan av två kuber på två olika sätt. (Anmärkning: 1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³)

En annan matematiker, John Edensor Littlewood, lär ha kommenterat anekdoten med att varje positivt heltal är en av Ramanujans personliga vänner.

Ramanujan formulerade Brocards problem 1913 oberoende av dess tidigare franske upptäckare Henri Brocard.

Matematiska resultat[redigera | redigera wikitext]

Elementärmatematik[redigera | redigera wikitext]

Ramanujan bevisade flera fascinerande elementära resultat:

(3x^2+5xy-5y^2)^3 + (4x^2-4xy+6y^2)^3 + (5x^2-5xy-3y^2)^3 = (6x^2-4xy+4y^2)^3


\sqrt{(n+a)^2 + x\,a + x\,\sqrt{(n+a)^2 + (x+n)\,a + (x+n)\,\sqrt{(n+a)^2 + (x+2n)\,a + (x+2n)\,\sqrt{\dots}}}}
= x\,+\,n\,+\,a.

Han upptäckte flera approximationer för pi:

\frac{9}{5}+\sqrt{\frac{9}{5}} = 3.1416^+
 \sqrt[4]{3^4+2^4+\frac{1}{2+(\frac{2}{3})^2}}  =\sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.14159\ 2652^+.

Några identiteter för rötter:

 \sqrt[4]{\frac{3 + 2 \sqrt[4]{5}}{3 - 2 \sqrt[4]{5}}} = \frac{ \sqrt[4]{5} + 1}{\sqrt[4]{5} - 1}=\tfrac12\left(3+\sqrt[4]5+\sqrt5+\sqrt[4]{125}\right),
 \sqrt{ \sqrt[3]{28} - \sqrt[3]{27}} = \tfrac13\left(\sqrt[3]{98} - \sqrt[3]{28} -1\right),
 \sqrt[3]{ \sqrt[5]{\frac{32}{5}} - \sqrt[5]{\frac{27}{5}} } = \sqrt[5]{\frac{1}{25}} + \sqrt[5]{\frac{3}{25}} - \sqrt[5]{\frac{9}{25}},
\sqrt[3]{\ \sqrt[3]{2}\ - 1}= \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}.

Kombinatorik[redigera | redigera wikitext]

Ramanujan studerade Bernoullitalen och upptäckte flera av deras fascinerande egenskaper:

{{m+3}\choose{m}}B_m=\begin{cases} {{m+3}\over3}-\sum\limits_{j=1}^{m/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}, & \mbox{om}\ m\equiv 0\pmod{6};\\
{{m+3}\over3}-\sum\limits_{j=1}^{(m-2)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}, & \mbox{om}\ m\equiv 2\pmod{6};\\
-{{m+3}\over6}-\sum\limits_{j=1}^{(m-4)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}, & \mbox{om}\ m\equiv 4\pmod{6}.\end{cases}

Oändliga serier[redigera | redigera wikitext]

Ramanujan upptäckte ett flertal oändliga serier för π, såsom

 \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}.

En annan av hans resultat för oändliga serier är

 \left [ 1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n\theta)}{\cosh(n\pi)} \right ]^{-2} + \left [1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cosh(n\theta)}{\cosh(n\pi)} \right ]^{-2} = \frac {2 \Gamma^4 \left ( \frac{3}{4} \right )}{\pi}

för alla \theta, där \Gamma(z) är gammafunktionen. Han bevisade ett flertal redan kända resultat för hypergeometriska serier, men även flera nya:

1 - 5\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{1\times3}{2\times4}\right)^3 - 13\left(\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3 + \cdots = \frac{2}{\pi}
1 + 9\left(\frac{1}{4}\right)^4 + 17\left(\frac{1\times5}{4\times8}\right)^4 + 25\left(\frac{1\times5\times9}{4\times8\times12}\right)^4 + \cdots = \frac{2^\frac{3}{2}}{\pi^\frac{1}{2}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)}.

Det första resultatet var redan känt, men det andra är antagligen ett nytt resultat.

Andra resultat:

{{4}\over{\pi}} = {{1123}\over{882}} -
          {{22183}\over{882^3}} {{1}\over{2}} {{1\cdot 3}\over{4^2}}+
          {{44443}\over{882^5}} {{1\cdot 3}\over{2\cdot 4}}
          {{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}\over{4^2\cdot 88^2}}\cdots
\sum_{k=0}^{\infty}{2k\choose k}{{1}\over{2^{2k}(2k+1)^2}} =
      {{\pi}\over{2}}\log 2
\sum_{k=0}^{\infty}{2k\choose k}{{3^k}\over{2^{4k}(2k+1)^2}} =
      {{\pi}\over{3\sqrt{3}}}\log(3)
      - 2{{\pi^2}\over{27}} + \sum_{k=0}^{\infty}{{1}\over{(3k+1)^2}}
\lim_{x\to\infty}e^{{{x^3}\over{9}}-{x\over{12}}}
      \prod_{k=1}^{x}
      \biggl({{k}\over{x}} \biggr)^{k^2} = e^{{{\zeta(3)}\over{4\pi^2}}}.

Integraler[redigera | redigera wikitext]

Ramanujan räknade ut massor med intressanta integraler, såsom

\int_0^\infty \cfrac{1+{x}^2/({b+1})^2}{1+{x}^2/({a})^2} \times\cfrac{1+{x}^2/({b+2})^2}{1+{x}^2/({a+1})^2}\times\cdots\;\;dx = \frac{\sqrt \pi}{2} \times\frac{\Gamma(a+\frac{1}{2})\Gamma(b+1)\Gamma(b-a+\frac{1}{2})}{\Gamma(a)\Gamma(b+\frac{1}{2})\Gamma(b-a+1)}.

Kedjebråk[redigera | redigera wikitext]

Ramanujan härledde ett stort antal intressanta formler för kedjebråk:

 1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \cdots + {{1\over 1 + {1\over 1 + {2\over 1 + {3\over 1 + {4\over 1 +                                     {5\over 1 + \cdots }}}}}}} = \sqrt{\frac{e\cdot\pi}{2}}
\sqrt{\varphi+2}- \varphi = \cfrac{e^{-2 \pi/5}}{1 + \cfrac{e^{-2 \pi}}{1 + \cfrac{e^{-4 \pi}}{1+ \cfrac{e^{-6 \pi}}{1+\,\cdots}}}}

där \varphi=\frac{1+\sqrt5}2 är det gyllene snittet;

\frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{\displaystyle 1 + \frac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{\displaystyle 1 + \frac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{\ddots}}}}
= \Biggl(\frac{\sqrt{5}}{1+^5\sqrt{5^\frac{3}{4}(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^\frac{5}{2}-1}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2}\Biggr) \cdot e^{2\pi/\sqrt{5}}.

Q-serier[redigera | redigera wikitext]

\;_1\psi_1 \left[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix} ; q,z \right] 
= \sum_{n=-\infty}^\infty \frac {(a;q)_n} {(b;q)_n} z^n
= \frac {(b/a,q,q/az,az;q)_\infty }
{(b,b/az,q/a,z;q)_\infty}

om |q| < 1 och |b/a| < |z| < 1.

Rogers–Ramanujan-identiteterna:

G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = 
\frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}
	=1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots \,

och

H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = 
\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty}
=1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots \,
.

Övriga q-serier:

\sum_{k=0}^\infty p(5k+4)q^k=5\frac{(q^5)_\infty^5}{(q)_\infty^6}
\sum_{k=0}^\infty p(7k+5)q^k=7\frac{(q^7)_\infty^3}{(q)_\infty^4}+49q\frac{(q^7)_\infty^7}{(q)_\infty^8}

där p(n) är partitionsfunktionen. Simpla korollarium av det här är kongruenserna

p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5
p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7.

Ramanujan upptäckte dessutom en tredje kongruens,

p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}.

Eisensteinserier[redigera | redigera wikitext]

Låt

L(q)=1-24\sum_{n=1}^\infty \frac {nq^n}{1-q^n}=E_2(\tau)
M(q)=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n}=E_4(\tau)
N(q)=1-504\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n}=E_6(\tau),

då är

q\frac{dL}{dq} = \frac {L^2-M}{12}
q\frac{dM}{dq} = \frac {LM-N}{3}
q\frac{dN}{dq} = \frac {LN-M^2}{2}.

De här formlerna leder till korollarium för aritmetiska funktioner. Om vi definierar

\sigma_p(0) = \frac12\zeta(-p),\;   

då är

\sum_{k=0}^n\sigma(k)\sigma(n-k)=\frac5{12}\sigma_3(n)-\frac12n\sigma(n).

Falska modulära former[redigera | redigera wikitext]

Ramanujan upptäckte funktioner kända som falska modulära former. Ett exempel är följande funktion:


f(q) = \sum_{n\ge 0} {q^{n^2}\over (-q; q)_n^2} (talföljd A000025 i OEIS).

Han upptäckte flera relationer mellan dem. Några exempel är följande (för definitionerna på dessa funktioner se själva artikeln):

\begin{align}
                                                       2\phi(-q) - f(q) &= f(q) + \psi(-q) = \theta_4(q)\prod_{r > 0}\left(1 + q^r\right)^{-1} \\
                                                        4\chi(q) - f(q) &= 3\theta_4^2\left(0q^3\right)\prod_{r > 0}\left(1 - q^r\right)^{-1} \\
                                                   2\rho(q) + \omega(q) &= 3\left(q^{-\frac{1}{2}\frac{3}{8}}\theta_2\left[0, q^\frac{3}{2}\right]\right)^2\prod_{r > 0}\left(1 - q^{2r}\right)^{-1} \\
                                   v(\pm q) \pm q\omega\left(q^2\right) &= \frac{1}{2}q^{-\frac{1}{4}}\theta_2(0, q)\prod_{r > 0}\left(1 + q^{2r}\right) \\
  f\left(q^8\right) \pm 2q\omega(\pm q) \pm 2q^3\omega\left(-q^4\right) &= \theta_3(0, \pm q)\theta_3\left(0, q^2\right)^2\prod_{r > 0}\left(1 - q^{4r}\right)^{-2}
\end{align}

Saker uppkallade efter Ramanujan[redigera | redigera wikitext]

Det finns massor med funktioner, konstanter, satser och förmodanden uppkallade efter Ramanujan. Några exempel är:

Se även[redigera | redigera wikitext]

Litteratur[redigera | redigera wikitext]

  • G. H. Hardy: "A Mathematician's Apology", Cambridge University Press, 1940 (omtryckt 1941, 1948, 1967, 1969).
  • Matematikantologin Sigma : en matematikens kulturhistoria, red: James R. Newman, (svensk översättning Forum, första upplagan 1959) har i band 1 ett avsnitt, nr 18, om Ramanujan på sid 320 - 330.
  • C. P. Snow: "Variety of Men", Macmillan, 1967 (Penguin Books, 1969) med kapitlet "G. H. Hardy".
  • Engelska Wikipedia har åtskilliga referenser om Ramanujan och hans bidrag till matematiken.