Gradient

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Två typer av gradienter, cirkulär och linjär.

Gradient är inom matematiken en vektorvärd funktion av ett skalärfält som i kartesiska koordinater är

\ \, \nabla f = \mathrm{grad} \, f = \left(\frac{\partial f}{\partial x} , \frac{\partial f}{\partial y} , \frac{\partial f}{\partial z}\right)

för ℝ3, där ∇ är nablaoperatorn, som även kan användas för andra typer av operationer inom vektoranalysen.

Mera generellt kan gradienten skrivas som en funktional:

\nabla: D_{\mathbb R^N \rightarrow \mathbb R} \rightarrow D_{\mathbb R^N \rightarrow \mathbb R^N}

där D_{\mathbb R^N \rightarrow \mathbb R} betecknar mängden av alla differentierbara funktioner från ℝN till ℝ osv.

En funktions gradient är en vektor vars riktning är den riktning i vilken förändringen av funktionen är som störst och vektorns storlek är proportionell mot förändringens storlek.

Geometrisk tolkning av gradienten är att gradienten ∇ f(x) är normal till nivåkurvan f(x) = C.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Funktionen

f(x,\,y) = \sin(2x)\cos(y)

har i kartesiska koordinater gradienten

\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)= (2\cos(2x)\cos(y), -\sin(2x)\sin(y))

I till exempel punkten (0.4, -0.7) är gradienten

\nabla\, f = (1.0657...,\, 0.4621...)

Gradienter inom fysiken[redigera | redigera wikitext]

Se även[redigera | redigera wikitext]