Gradient

Två typer av gradienter, cirkulär och linjär.

Gradient är inom matematiken en vektorvärd funktion av ett skalärfält som i kartesiska koordinater är

$\ \, \nabla f = \mathrm{grad} \, f = \left(\frac{\partial f}{\partial x} , \frac{\partial f}{\partial y} , \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

för ℝ³, där ∇ är nablaoperatorn, som även kan användas för andra typer av operationer inom vektoranalysen.

Mera generellt kan gradienten skrivas som en funktional:

$\nabla: D_{\mathbb R^N \rightarrow \mathbb R} \rightarrow D_{\mathbb R^N \rightarrow \mathbb R^N}$

där $D_{\mathbb R^N \rightarrow \mathbb R}$ betecknar mängden av alla differentierbara funktioner från ℝ^N till ℝ osv.

En funktions gradient är en vektor vars riktning är den riktning i vilken förändringen av funktionen är som störst och vektorns storlek är proportionell mot förändringens storlek.

Geometrisk tolkning av gradienten är att gradienten ∇ f(x) är normal till nivåkurvan f(x) = C.

Exempel

Funktionen

$f(x,\,y) = \sin(2x)\cos(y)$

har i kartesiska koordinater gradienten

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)= (2\cos(2x)\cos(y), -\sin(2x)\sin(y))$

I till exempel punkten (0.4, -0.7) är gradienten

$\nabla\, f = (1.0657...,\, 0.4621...)$

Gradienter inom fysiken

• Tyngdacceleration, gradient av gravitationsfältet

Se även

• Divergens (vektoranalys)
• Rotation (vektoranalys)
• Skalärpotential, inversen av gradienten.