Kontravariant vektor

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kontravariant vektor kallas inom allmän relativitetsteori en vektor med index uppe, \; x^a. Att en vektor har index uppe eller nere har enbart matematisk betydelse.

En kontravariant vektor transformeras genom multiplikation med (proportionellt mot) skalan.

Lägg ett koordinatsystem (x,y) i verkligheten och ett (x',y') på en karta i skala 1:1000 = 0,001. Då blir 1 m i verkligheten 1 mm på kartan. Hastigheten 1 m/s blir 1 mm/s på kartan och lufttryckgradienten 1 pa/m blir 1 Pa/mm.

När man transformerar hastighet från verklighet till karta multiplicerar man alltså med skalan 1*0,001 m/s = 1 mm/s.

När man transformerar lufttrycksgradient från verklighet till karta dividerar man med skalan (omvänd proportionalitet) 1/0,001 Pa/m = 1 Pa/mm.

Hastighet är ett exempel på en kontravariant vektor, lufttryckgradient är ett exempel på en kovariant vektor.

För att bestämma skalan i x-riktningen kan man gå ett steg (δx) i verkligheten och se vad det motsvarar på kartan (δx'). Kartans skala är då δx'/δx i x-riktningen och på motsvarande sätt δy'/δy i y-riktningen.

En vektor är entydigt bestämd av sina axelkomposanter. Transformation till ett annat koordinatsystem kan alltså göras genom att man delar upp vektorn i dess axelkomposanter och transformerar axelkomposanterna.

För den kontravarianta vektorn A gäller då (om kartans axlar är parallella med verklighetens

      Ax' = Ax  δx'/δx
      Ay' = Ay  δy'/δy

och för den kovarianta vektorn B gäller

      Bx' = Bx  δx/δx'
      By' = By  δy/δy'

Om kartans axlar inte är parallella med verklighetens ersätta detta av

      Ax' = Ax  δx'/δx +  Ay  δx'/δy
      Ay' = Ax  δy'/δx +  Ay  δy'/δy

och för den kovarianta vektorn B gäller

      Bx' = Bx  δx/δx' +  By  δy/δx'
      By' = Bx  δx/δy' +  By  δy/δy'

I ett kroklinjigt koordinatsystem behöver inte axeltangenterna sammanfalla med normalerna till koordinatytorna. En vektors projektioner på axeltangenterna kallas då "vektorns kontravarianta komposanter" och vektorns projektioner på koordinatytenormalerna kallas "vektorns kovarianta komposanter".

Se även[redigera | redigera wikitext]