Hilbertmatris

Inom matematiken är en Hilbertmatris en matris där elementen består av bråktal med täljaren 1, uppkallad efter matematikern David Hilbert.

Definition

Ett element $h_{ij}$ i en Hilbertmatris har värdet:

$h_{ij} = \frac{1}{i+j-1}$

Exempel

Hilbertmatrisen H av format $4 \times 4$:

$H = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt] \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\[4pt] \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \end{pmatrix}$

Egenskaper

Hilbertmatriser är positivt definita och symmetriska. Matrisen är ett typexempel på en illa konditionerad matris, då dess konditionstal är av ordningen $O(e^{3.5255n}/\sqrt{n})$.