Symmetrisk matris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En symmetrisk matris är inom matematik, specifikt linjär algebra, en matris sådan att matrisen ser likadan ut om man "speglar" elementen i huvuddiagonalen på matrisen. Matematiskt uttryckt innebär detta att matrisen är lika med sitt transponat. Om matrisen har elementen aij så är aij = aji för en symmetrisk matris. Man kan också uttrycka detta som att rad k i en symmetrisk matris har samma element, i samma ordning, som kolonn k.

Exempel[redigera | redigera wikitext]


M =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 6
\end{pmatrix}

M är symmetrisk, eftersom MT = M.

A nedan är dock inte symmetrisk, vilket man kan se genom att jämföra elementen i A med elementen i A:s transponat, AT:


A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \\
3 & 4 & 5 \\
3 & 1 & 6
\end{pmatrix}
~~
A^T =
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 \\
2 & 4 & 1 \\
2 & 5 & 6
\end{pmatrix}


Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Symmetriska matriser har alltid en ortonormerad bas av egenvektorer, enligt spektralsatsen. Detta innebär att om A är symmetrisk kan A diagonaliseras med en ortogonalmatris, dvs det finns en diagonalmatris D och en ortogonalmatris T sådan att

A = TDT^T.

och elementen i D:s diagonal är A:s egenvärden.

Om A är en reell matris så är matrisen ATA symmetrisk, sålänge matrismultiplikationen är tillåten. Detta kan visas med hjälp av räknereglerna för transponat:

( A^T A)^T = (A)^T (A^T)^T = A^T A

Se även[redigera | redigera wikitext]