Symmetrisk matris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En symmetrisk matris är inom linjär algebra, en matris sådan att den är identisk med sitt transponat:

A = A^T

Om matrisen har elementen aij är aij = aji för en symmetrisk matris. Man kan också uttrycka detta som att rad k i en symmetrisk matris har samma element, i samma ordning, som kolonn k.

Exempel[redigera | redigera wikitext]


M =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 6
\end{pmatrix}

M är symmetrisk, eftersom MT = M.

A nedan är dock inte symmetrisk, vilket man kan se genom att jämföra elementen i A med elementen i A:s transponat, AT:


A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \\
3 & 4 & 5 \\
3 & 1 & 6
\end{pmatrix}
~~
A^T =
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 \\
2 & 4 & 1 \\
2 & 5 & 6
\end{pmatrix}
,
A \ne A^T.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Symmetriska matriser har alltid en ortonormerad bas av egenvektorer, enligt spektralsatsen, vilket innebär att om A är symmetrisk kan A diagonaliseras med en ortogonalmatris, det vill säga, det finns en diagonalmatris D och en ortogonalmatris T sådan att

A = T\,D\,T^T.

där elementen i D:s diagonal är A:s egenvärden.

Om A är en reell matris så är matrisen ATA symmetrisk, om matrismultiplikationen är tillåten. Detta kan visas med hjälp av räknereglerna för transponat:

( A^T A)^T = (A)^T (A^T)^T = A^T A

Symmetrisk avbildning[redigera | redigera wikitext]

En symmetrisk linjär avbildning är en avbildning F sådan att

 \mathbf{u} \cdot F(\mathbf{v}) = \mathbf{v} \cdot F(\mathbf{u})

för alla reella vektorer u och v. I en ortonormerad bas motsvarar en symmetrisk avbildning en symmetrisk matris på ett entydigt sätt. För att bevisa detta noteras att skalärprodukten i en sådan bas kan skrivas på matrisformen

 \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u^T v,

där u och v är kolonnmatriser. Om avbildningen F representeras av matrisen A i den givna basen kan definitionen skrivas som

 u^T A v = v^T A u.

Om  A = A^T blir transponatet av vänsterledet lika med högerledet. Eftersom vänsterledet är en 1x1-matris är den lika med sitt transponat, så F är symmetrisk. Om man utgår från att F är symmetrisk får man på samma sätt att

 v^T A u = v^T A^T u'

och om detta ska gälla för alla u och v måste

 A = A^T.

Se även[redigera | redigera wikitext]