Kärve (matematik)

I matematiken är en kärve en struktur som varierar på ett kontinuerligt sätt över ett topologiskt rum. Exempel på vanliga strukturer är abelska grupper, mängder och ringar. Kärvar är ett fundamentalt verktyg i all global geometri.

Definition

En kärve av abelska grupper på ett topologiskt rum X är en funktion F som till varje öppen mängd U i X associerar en abelsk grupp F(U) samt till varje inklusion av öppna mängder $U\rightarrow V$ associerar en homomorfi av abelska grupper $F(V)\rightarrow F(U)$, så att följande axiom är satisfierade:

1. Om $U_1\subseteq U_2\subseteq U_3$ samt $f_{31}\colon F(U_3)\rightarrow F(U_1)$, $f_{32}\colon F(U_3)\rightarrow F(U_2)$ och $f_{21}\colon F(U_2)\rightarrow F(U_1)$ är de inducerade homomorfierna så gäller $f_{31}=f_{21}\circ f_{32}$
2. Om $U=\bigcup U_i$ är en övertäckning av U och $f_i$ är avbildningen inducerad av inklusionen $U_i\rightarrow U$ och $s\in F(U)$ är sådan att $f_i(U)=0$ för varje i, så gäller $s=0$
3. Om $U=\bigcup U_i$ är en övertäckning av U, $f_i$ är avbildningen inducerad av inklusionen $U_i\rightarrow U$, $f_{ij}$ är avbildningen inducerad av inklusionen $U_i\cap U_j\rightarrow U_i$ och $s_i\in F(U_i)$ är givna sådana att $f_{ij}(s_i)=f_{ji}(s_j)$ för varje i,j, så existerar $s\in F(U)$ så att $f_i(s)=s_i$ för varje i.

Exempel

• För ett topologiskt rum X är funktionen som associerar till varje öppen mängd U mängden av funktioner från U till R (de reella talen) en kärve, med restriktion av funktioner som restriktionsavbildning.
• På en differentierbar mångfald (eller algebraisk varietet) X är funktionen som associerar till en öppen mängd U vektorfälten på U en kärve, med restriktion av vektorfält som restriktionsavbildning. Denna kallas tangentkärven till X.
• Given ett topologiskt rum och en abelsk grupp A, så är funktionen som associerar till varje öppen mängd U mängden av kontinuerliga funktioner från U till A där A givits den diskreta topologin en kärve, med restriktion av funktioner som restriktionsavbilning. Denna kärve kallas den konstanta kärven med koefficienter i A.