Kedjeregeln

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kedjeregeln är inom matematisk analys en regel som talar om hur man deriverar sammansatta funktioner.

Funktioner av en variabel[redigera | redigera wikitext]

Om

y=f(u) och u=g(x), så att y=f(g(x)),

anger kedjeregeln att

{d \over dx} f(g(x)) = f^\prime(g(x))g^\prime(x),

där g'(x) kallas för f:s inre derivata.

I Leibniz notation skriver man

{dy \over dx} = {dy \over dg} {dg \over dx},

\tfrac{dg}{dx} är inre derivata.

Funktioner av flera variabler[redigera | redigera wikitext]

I flervariabelanalys fungerar kedjeregeln på ett liknande sätt.

Om

y=f(\mathbf{u}(x)) och \mathbf{u}(x) = (u_1(x), ..., u_n(x))

så är

\frac{dy}{dx}= \frac{\partial f}{\partial u_1}\frac{du_1}{dx} + ... + \frac{\partial f}{\partial u_n}\frac{du_n}{dx}.

Eftersom gradienten

\nabla f = \left ( \frac{\partial f}{\partial u_1}, ..., \frac{\partial f}{\partial u_n} \right)

och derivatan av den inre funktionen u är

\mathbf{u}'(x) = \left ( \frac{du_1}{dx}, ..., \frac{du_n}{dx} \right )

inser vi att derivatan \frac{dy}{dx} kan skrivas som en skalärprodukt enligt

\frac{dy}{dx} = \nabla f \cdot \mathbf{u}'.