Kontinuitetsekvationen

Kontinuitetsekvationen är en ekvation baserad på Reynolds transportteorem (RTT). Kontinuitetsekvationen är ett uttryck för villkoret att massa varken skapas eller försvinner vid ett strömningsförlopp.

Grundform

Den extensiva storheten B gäller då massa varför den intensiva storheten β blir 1 eftersom:

$\beta={dm \over dm}=1$

RTT blir då:

${d \mathbf{m}_{syst} \over dt} = {d \over dt} \Big( \int_{kv}\rho dV \Big) +\int_{ky}\rho \Big( \mathbf{V}_r \cdot \mathbf{n} \Big) dA$,

där kv står för kontrollvolym, ky för kontrollyta, ρ för densiteten, A för area, V för hastighet. $\mathbf{V}_r$ är en relativ hastighetsvektor medan $\mathbf{n}$ är en enhetsvektor som är negativ för inflöde och positiv för utflöde. Dock är ${d \mathbf{m}_{syst} \over dt}$ lika med noll för en kontrollvolym.

Kontinuitetsekvationen är:

${d \over dt} \Big( \int_{kv} \rho dV \Big) + \int_{ky} \rho \Big( \mathbf{V}_r \cdot \mathbf{n} \Big) dA = 0$

Kontinuitetsekvationen förenklas beroende på situation.

Fix kontrollvolym

$\mathbf{V}_r=\mathbf{V}$ och ${d \over dt} \int = \int {\delta \over \delta t}$, dvs.

$\int_{kv}{\delta\rho \over \delta t}dV + \int_{ky} \rho \Big( \mathbf{V} \cdot \mathbf{n} \Big) dA = 0$

Endimensionell, stationär strömning i fix kontrollvolym

Vid stationär strömning är ${\delta\rho \over \delta t} \equiv 0$

Vid endimensionell, stationär strömning i en fix kontrollvolym gäller då:

$\sum \Big( \rho V A \Big)_{ut} = \sum \Big( \rho V A \Big)_{in}$, vilket ger att:

$\sum \dot m_{ut} = \sum \dot m_{in}=konstant$

Vid inkompressibelt flöde är densiteten konstant genom hela fluiden. Alltså gäller att ${\delta\rho \over \delta t} \equiv 0$.

Inkompressibelt flöde med fix kontrollvolym

$\int_{ky}\rho \Big(\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}\Big) dA = 0 \ <=> \ \int_{ky} \Big(\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}\Big) dA$

Endimensionell, inkompressibel strömning genom kontrollvolym

$\sum\Big( VA \Big)_{ut} = \sum \Big( VA \Big)_{in}$ dvs. $\sum Q_{ut} = \sum Q_{in}$ och $\sum \dot m_{ut} = \sum \dot m_{in}$

Källor

• Pumphandboken

Se även

• Energiekvationen
• Impulsmomentsatsen
• Impulssatsen
• Strömningsmekanik