Kroneckerprodukt

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kroneckerprodukt är en matematisk operation på två matriser, vilket resulterar i en ny, större, matris som enklast uttrycks som en blockmatris. Operationen är uppkallad efter Leopold Kronecker.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Om A är en m × n-matris och B är en p × q-matris så är deras Kroneckerprodukt en mp × nq-matris definierad av:

 A \otimes B =
\begin{pmatrix}
a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\
a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
a_{m1}B & a_{n2}B & \cdots & a_{mn}B
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
   a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
   a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
   a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} 
\end{pmatrix}.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Låt A och B vara definierade enligt:

A =
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
~~
B = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 \\
0 & 6 & 2 
\end{pmatrix}.

Då deras Kroneckerprodukter blir:

A \otimes B = \begin{pmatrix}
B & - B \\
0 & 2 B
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & -1 & 0 & -3 \\
0 & 6 & 2 & 0 & -6 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 4 
\end{pmatrix}
B \otimes A = \begin{pmatrix}
A & 0 & 3A \\
0 & 6A & 2A
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 & 3 & - 3 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 0 & 6 & -6 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 4
\end{pmatrix}


Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Kroneckerprodukten uppfyller följande egenskaper:

A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C
(A+B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C
(kA) \otimes B = (kA)\otimes B = k(A \otimes B)
(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C)
(A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD om AC och BD är definierade.
(A \otimes B)^T = A^T \otimes B^T

Egenvärden[redigera | redigera wikitext]

Om \lambda_i för i = 1, 2, ..., n är egenvärden till A och \mu_j för j = 1, 2, ..., q är egenvärden till B så är \lambda_i \mu_j ett egenvärde till deras Kroneckerprodukter för alla kombinationer av i och j och alla egenvärden till Kroneckerprodukterna uppkommer på detta sätt.

Ur detta kan man få ekvationer för matrisspåren och determinanterna för Kroneckerprodukterna:

\operatorname{tr} (A \otimes B) = \operatorname{tr} A \operatorname{tr} B
\det (A \otimes B) = (\det A)^q (\det B)^n

Kroneckersumma[redigera | redigera wikitext]

En Kroneckersumma av två kvadratiska matriser A och B (n × n respektive m × m) är matrisen definierad av

 I_m \otimes A + B \otimes I_n

Kroneckersummans egenvärden är på formen \lambda_i + \mu_j.

Matrisekvationer[redigera | redigera wikitext]

Kroneckerprodukter kan användas för att lösa matrisekvationer av typen AXB = C, då man kan få en lösning genom

(B^T \otimes A) \operatorname{vec} X = \operatorname{vec } C

som löses som ett vanligt ekvationssystem. vec C är vektoriseringen av matrisen C, C:s kolonner staplade ovanpå varandra i en vektor.

Kroneckersummor används vid lösningen av Sylvesters ekvation, AX + XB = C, då en lösning ges av:

(I_m \otimes A + B^T \otimes I_n) \operatorname{vec} X = \operatorname{vec} C

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-46713-6 .