Laplaceoperatorn eller Laplaces operator är inom vektoranalysen en differentialoperator . Den har fått sitt namn efter Pierre Simon de Laplace . Laplaceoperatorn är lika med summan av alla andra ordningens partiella derivator av en beroende variabel. Laplaceoperatorn är en elliptisk operator med många tillämpningar inom fysiken och matematiken.
För ett skalärfält φ kan Laplaceoperatorn uttryckas div (grad φ), eller likvärdigt med hjälp av nabla -symbolen i kvadrat, ∇2 :
∇
2
ϕ
=
∇
⋅
(
∇
ϕ
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\nabla \cdot (\nabla \phi )}
Samt för vektorfält
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
∇
2
F
=
∇
(
∇
⋅
F
)
−
∇
×
(
∇
×
F
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}
∇2 kan även skrivas som ∆.
Operatorn förekommer, till exempel, i Laplaces ekvation .
Koordinatrepresentation i 3 dimensioner Laplaces operator är i kartesiska koordinater
∇
2
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
{\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}
i cylindriska koordinater
∇
2
=
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
∂
θ
2
+
∂
2
∂
z
2
=
∂
2
∂
r
2
+
1
r
∂
∂
r
+
1
r
2
∂
2
∂
θ
2
+
∂
2
∂
z
2
{\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}
och i sfäriska koordinater
∇
2
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
∂
ϕ
2
=
=
∂
2
∂
r
2
+
2
r
∂
∂
r
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
∂
ϕ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}&={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}=\\&={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\end{aligned}}}
d'Alemberts operator En motsvarighet som ibland används inom relativitetsteori och i Minkowskis rumtid eller för att skriva ut vågekvationen betecknas
◻
{\displaystyle \Box }
d'Alemberts operatordimensioner och 1 tidsdimension) har den formen
◻
=
1
c
2
∂
2
∂
t
2
−
∇
2
{\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}
där c är ljushastigheten och t är tidskoordinaten .
Se även 
