Polära koordinater

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Polära och rektangulära koordinater i två dimensioner

Polära koordinater används i en form av tvådimensionellt koordinatsystem där en punkt identifieras av ett avstånd från en fix punkt samt av en vinkel.

Avståndskoordinaten är punktens avstånd r från origo och vinkelkoordinaten är vinkeln mellan x-axeln och linjen genom origo och punkten.

Cirkulära koordinater är ett annat namn för polära koordinater.

Samband med kartesiska koordinater[redigera | redigera wikitext]

Transformering från polära koordinater till kartesiska koordinater sker genom

\begin{cases}x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta\end{cases}

och för transformering från kartesiska koordinater till polära kan

\begin{cases} r = \sqrt{ x^2 + y^2} \\ \theta = \arctan{\cfrac{y}{x}}\quad x \ne 0  \end{cases}

användas. Funktionen arctan(y/x) fungerar korrekt endast för första och fjärde kvadranten, varför vissa programbibliotek har funktionen atan2(y, x) vilken ger värden för samtliga kvadranter enligt

\operatorname{atan2}(y, x) =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & x > 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & x < 0 \mbox{, } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & x < 0 \mbox{, } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & x = 0 \mbox{, } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & x = 0 \mbox{, } y < 0\\
\text{odefinierad} & x = 0 \mbox{, } y = 0
\end{cases}

Exempel på kurvor beskrivna med polära koordinater[redigera | redigera wikitext]

En cirkel med ekvationen r(φ) = 1
Den "polära rosen" med ekvationen r(φ) = 2 sin 4φ
En gren av Arkimedes spiral med ekvationen r(φ) = φ / 2π för 0 < φ < 6π

n-dimensionella polära koordinater[redigera | redigera wikitext]

Polära koordinater i tre dimensioner

Ett polärt koordinatsystems av n-1 dimensioner kan utökas till n dimensioner genom att en axel läggs till mot vilken svarar en ny vinkelkoordinat \vartheta_{n-2}\in [0,\pi].

I ett rätvinkligt koordinatsystem kan schemat för omvandling till rektangulära koordinater i det n-dimensionella fallet skrivas som

 \begin{array}{lcr}
x_{1}  & = & r\ \cos\varphi\ \sin\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots\ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\
x_{2}  & = & r\ \sin\varphi\ \sin\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots\ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\
x_{3}  & = &  r\ \cos\vartheta_{1}\ \sin\vartheta_{2} \ \cdots \ \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2} \\
x_{4}  & = & r\ \cos\vartheta_{2} \ \cdots\  \sin\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\
\vdots &  \vdots &           \vdots  \qquad\qquad\qquad\quad\\
x_{n-1}  & = &                    r\ \cos\vartheta_{n-3}\ \sin\vartheta_{n-2}\\
x_{n}  & = &                    r\ \cos\vartheta_{n-2}
\end{array}