Monty Hall-problemet
 |
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2012-08) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (fotnoter). Fakta utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort. Diskutera på diskussionssidan. |
- För den engelska marinbiologen, se Monty Halls
Monty Hall-problemet är ett spelteoretiskt problem som bygger på sannolikheter. Det är löst baserat på det amerikanska spelet "Let's make a deal". Namnet kommer från spelets presentatör, Monty Hall. I spelet får spelaren se tre stängda dörrar - bakom en finns en bil, och bakom de två andra finns två getter. Spelet börjar med att spelaren får välja en dörr, utan att öppna den. Därefter öppnar presentatören, som vet vad som finns bakom dörrarna, en av de två resterande dörrarna (men aldrig den med bilen) och visar att denna dörr inte innehåller vinsten. Spelaren får då ytterligare ett val, nämligen att byta dörr.
Frågeställningen är om chanserna att vinna ökar om spelaren byter dörr.
Problemet kallas ibland Monty Hall-paradoxen då den korrekta lösningen motsäger ett intuitivt resonemang om sannolikheterna för att göra rätt val.
Innehåll |
Problem och lösning [redigera]
Problemet [redigera]
Problemet kan formuleras så här: I spelet får spelaren se tre dörrar - bakom en finns en bil, och bakom de två andra finns två getter. Spelet börjar med att spelaren väljer en dörr, utan att öppna den. Därefter öppnar presentatören, som vet vad som finns bakom dörrarna, en av de två resterande dörrarna och visar att denna dörr inte innehåller vinsten. Presentatören ger därefter spelaren ytterligare ett val, nämligen att byta dörr.
I denna, den vanligaste, varianten måste presentatören öppna en dörr med en get och presentatören måste också erbjuda spelaren möjligheten att byta efter det att dörren med geten har öppnats.
Lösningen [redigera]
Ja, det är till spelarens fördel att ändra sitt val. Chansen att vinna dubbleras av att ändra sitt val jämfört med att hålla fast vid originalvalet.
Lösningen kan visualiseras genom att visa att det finns tre olika scenarion, samtliga med 1/3 sannolikhet:
- Spelaren väljer bilen. Spelledaren presenterar get A eller get B. Byte ger förlust. (Alternativ 1 nedan.)
- Spelaren väljer get A. Spelledaren presenterar get B. Byte ger vinst. (Alternativ 2 nedan.)
- Spelaren väljer get B. Spelledaren presenterar get A. Byte ger vinst. (Alternativ 3 nedan.)
Som synes är det bara om man valde rätt dörr till att börja med som det kan bli fel om man byter. Då det är 1/3 chans att man valde rätt dörr från början blir det också bara 1/3 chans att man förlorar om man byter, och således 2/3 chans att bytet ger vinst.
Förståelse av lösningen [redigera]
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Spelaren har lika stor chans att initialt välja bilen, get A eller get B. Byte ger vinst i 2/3 av fallen.
|
|||||||||||||||||||||||||||
Varianter [redigera]
Den lösning som beskrivs ovan gäller under de förutsättningar som anges i avsnittet. Andra varianter ger andra sannolikheter och andra lösningar för vad som, för spelaren, är det bästa valet. Om förutsättningarna ändras, till exempel genom att spelledaren kan välja att inte erbjuda spelaren att byta, är beräkningen annorlunda. Flera diskussioner om Monty Hall-problemets rätta lösning har orsakats av att debattörerna har använt olika varianter av problemet utan att vara medvetna om det.
Obestämt antal dörrar [redigera]
En generalisering av problemet är att använda n antal dörrar. I det första steget väljer man då en dörr, varefter spelledaren öppnar en dörr med en get bakom. Man får sedan valet att stå fast vid sitt val eller byta. Detta fortsätter tills det bara är två oöppnade dörrar kvar. Frågeställningen är huruvida, och i så fall, hur många gånger, man bör byta dörr, och när?
Den bästa strategin är att hålla fast vid sitt val ända tills på slutet, då man byter. Med denna stategi är sannolikheten att vinna (n-1)/n, vilket bevisades av Bapeswara Rao och Rao.
Formulering i Parade Magazine [redigera]
Craig F. Whitaker formulerade problemet i en insändare till Marilyn vos Savants kolumn i Parade Magazine 1990. Denna formulering blev berömd då hennes svar orsakade kontrovers, beroende på att problemet kan tolkas på olika sätt. De olika tolkningarna leder då till olika svar.
- Antag att du är med i en tv-lek där du får välja mellan tre dörrar. Bakom en dörr finns en bil, bakom de andra två, getter. Du väljer dörr 1, och tv-värden, som vet vad som finns bakom alla dörrar, öppnar en annan dörr, säg nummer 3, vilken visar en get. Han frågar därefter: "Vill du byta till dörr nummer 2?". Är det då till din fördel att ändra ditt val?
