Sannolikhet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Sannolikheten att i första given få Royal straight flush i klöver är 1/2598960

Sannolikhet är, i strikt bemärkelse, ett mått på hur troligt det är att en viss händelse inträffar. Sannolikhet i en allmän och vagare mening, är graden av ett omdömes eller en teoris rationella trovärdighet eller graden av någons benägenhet att tro att ett visst påstående är sant.

I den förstnämnda betydelsen, kan sannolikheten för att en viss händelse E skall inträffa vid ett försök, betecknas med P(E) och den klassiska sannolikhetsdefinitionen innebär att P(E) = n/N, där N är det totala antalet lika sannolika utfall och n antalet utfall sådana att händelsen E inträffar.

Om vid kast med en tärning E är händelsen att antalet prickar är udda blir P(E) lika med

Dices-probability-def-2.png

Sannolikhetsmåttet P är en funktion som till varje möjlig händelse E ordnar ett reellt tal P(E), sådant att 0 ≤ P(E) ≤ 1. Ju mer sannolikt det är att en händelse E inträffar, desto större värde har P(E).

Sannolikhetsberäkningar är en del av sannolikhetsteorin vilken tillämpas inom discipliner som matematik, finans och hasardspel. Teorin är uppdelad i två huvuddiscipliner, den moderna och den klassiska. Sannolikhetsteorins grunder är Kolmogorovs axiom, mängdteori och kombinatorik.

Historik[redigera | redigera wikitext]

Christiaan Huygens var troligen den förste att publicera en bok om sannolikhet Andrej Kolmogorov lade grunden för den moderna sannolikhetsteorin
Christiaan Huygens var troligen den förste att publicera en bok om sannolikhet
Andrej Kolmogorov lade grunden för den moderna sannolikhetsteorin

Sannolikhetsteorin kan delas upp i klassisk och modern sannolikhetsteori. Den klassiska har sitt ursprung i Frankrike och Italien under 1500-1600-talen där den bland annat användes för hasardspel. Viktiga klassiska sannolikhetsteoretiker är Gerolamo Cardano, Blaise Pascal, Thomas Bayes, Pierre de Fermat, Jakob Bernoulli, Abraham de Moivre och Pierre-Simon de Laplace. Viktiga begrepp inom disciplinen är bland andra klassisk sannolikhetsdefinition, geometriska sannolikhetsrum, kombinatorik och bayesiansk statistik.

Den moderna sannolikhetsteorin löste ett av problemen med den klassiska; den klassiska klassificerar inte händelser och sannolikhet med exakta matematiska koncept. Andrej Kolmogorov upptäckte att den klassiska kan beskrivas med mängd- och måtteoretiska metoder, vilket resulterade i sannolikhetsrummet, det viktigaste moderna sannolikhetsteoretiska begreppet. Detta gav upphov till Kolmogorovs axiom.

Beräkning av sannolikheter[redigera | redigera wikitext]

För analys och beräkningar av sannolikheter är mängdlärans metoder och symboler mycket användbara.

Wenndiagram för "A och B" (A snitt B) samt "A eller B" (A union B)

Händelser[redigera | redigera wikitext]

Varje möjligt utfall av en slumpmässig process är en elementarhändelse. Mängden av alla möjliga elementarhändelser utgör utfallsrummet (också kallat händelserummet) och betecknas vanligen med Ω.

En delmängd av utfallsrummets elementarhändelser kallas en händelse. Om den process vi vill beskriva är kast med en tärning kan elementarhändelserna betecknas med talen 1 till 6 och utfallsrummet Ω blir

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

eller med diagram

Dice-111.svg

Om vi utgår från kast med en tärning kan vi beskriva händelsen A = "antalet prickar är udda" med mängden

{1, 3, 5}

eller i diagramform

Dice-22.svg

Om den slumpmässiga processen är "kast med två tärningar" är varje elementarhändelse ett av paren

(1, 1), (1, 2),...(1, 6); (2, 1), (2, 2),...(2, 6);...

och utfallsrummet kan beskrivas i tabellform som

Dice-44.svg

Om händelsen A är "kast med två tärningar där summan av antalet prickar är mindre än 4" är

A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

eller i tabellform

Dice-3b.svg

Händelsen A omfattar således tre elementarhändelser.

Venn-diagram kan användas för att beskriva händelser.

Slag av utfallsrum[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: utfallsrum

Diskret utfallsrum[redigera | redigera wikitext]

Om antalet elementarhändelser är ändligt eller uppräkneligt sägs Ω vara ett diskret utfallsrum.

Kontinuerligt utfallsrum[redigera | redigera wikitext]

Exempel på en diskretisering av ett kontinuerligt utfallsrum där utfallsrummet uppdelats i nio diskreta elementarhändelser

Om antalet elementarhändelser inte är uppräkneligt sägs Ω vara ett kontinuerligt utfallsrum. Ett kontinuerligt utfallsrum måste diskretiseras, uppdelas i intervall, för att elementarhändelserna skall kunna tilldelas nollskilda sannolikheter.

Tilldelning av sannolikhet[redigera | redigera wikitext]

Innan sannolikhetsberäkningar kan göras för händelser i utfallsrummet måste elementarhändelserna tilldelas sannolikheter.

Klassisk sannolikhetsdefinition[redigera | redigera wikitext]

Om vi återgår till exemplet med tärningskast är en möjlighet, att anta att de verkliga tärningarna kan approximeras tillräckligt väl av idealiserade tärningar för vilka varje resultat kan antas ha samma chans att förekomma.

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen är

P=\mathrm{\frac{antalet\ gynnsamma\ fall}{antalet\ m\ddot{o}jliga\ fall}}

där varje utfall antas ha samma sannolikhet att inträffa, det vill säga utfallen har en likformig fördelning.

Antalet gynnsamma möjligheter för utfallet "fem" är 1 och antalet möjliga utfall är 6, vilket ger sannolikheten för "fem" som

P(5) = \frac{1}{6}

Empirisk sannolikhet[redigera | redigera wikitext]

Verkliga tärningar kan antas ha defekter av flera slag och vi kan vara intresserade av att göra en noggrannare bestämning av tärningarnas egenskaper. En undersökning av hur ofta en etta inträffar skulle kunna ge resultatet

Antalet kast Etta som resultat Relativ frekvens
10 1 0,1
100 18 0,18
1000 182 0,182
10000 1683 0,1683

Den relativa frekvensen kan användas som ett mått på sannolikhet. Om antalet gånger händelsen A inträffat är n och totala antalet utfall är N, kan en approximation till sannolikheten skrivas som

P(A)=\frac{n}{N}

Detta slag av sannolikhet kallas empirisk sannolikhet.

Vanligt förekommande sannolikhetsfördelningar[redigera | redigera wikitext]

Galtons bräda ger en approximation av binomialfördelningen

Hur sannolikheterna fördelar sig på olika händelser kallas en sannolikhetsfördelning, vilken kan beskrivas med en diskret eller kontinuerlig täthetsfunktion. Vissa sannolikhetsfördelningar är användbara för många olika slumpprocesser och det finns utarbetade metoder för att använda dessa. Ett sätt att tilldela sannolikheter är att helt enkelt välja någon av dessa fördelningar.

Några ofta förekommande sannolikhetsfördelningar:

Sannoliketsmåttet P[redigera | redigera wikitext]

För funktionen P gäller enligt Kolmogorovs axiomsystem vilket är grundläggande för sannolikhetsläran:

  • 0 \le P(\cdot) \le 1
För att P skall kunna avbilda sannolikheten 0 måste Ω innehålla en null-händelse (tomma mängden).
  • P(\Omega) = 1
det vill säga, summan av sannolikheterna för alla elementarhändelser måste vara 1:
\sum_{i=1}^N P(e_i) = 1
A \cup B = \{1,2,3,4,5\}
A \cap B = \{\}
A och B saknar gemensamma händelser är
P(alla element som tillhör A eller B) = P(A) + P(B)

Additionssatsen för två händelser[redigera | redigera wikitext]

A \cup B = \{1,2,3,5\}
A \cap B = \{1\}

Sannolikheten för "A eller B inträffar" om A och B har gemensamma händelser är

P(A \cup B)= P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Om A och B har gemensamma händelser kommer dessa att räknas två gånger i summan P(A) + P(B) och subtraktionen korrigerar för detta.

Betingad sannolikhet[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Betingad sannolikhet
Eight-pens.png

Antag att vi har åtta pennor och väljer slumpmässigt och med lika sannolikhet en av dessa.

Om A betyder "röd penna väljs" blir enligt den klassiska sannolikhetsdefinitionen

P(A)=\frac{3}{8}

Om B betyder "lång penna väljs" är

P(B)=\frac{5}{8}

Vi ser också att

P(A \cap B)=\frac{2}{8}

då endast två pennor är både röda och långa.

Om en röd penna har valts, hur stor är sannolikheten för att den är lång? Denna sannolikhet definieras som

P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

och kallas den betingade sannolikheten för B om A har inträffat.

I exemplet med pennorna blir

P(B|A)=\frac{\frac{2}{8}}{\frac{3}{8}} = \frac{2}{3}

Oberoende händelser[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Oberoende

För sannolikhetsberäkningar är det ofta nödvändigt att avgöra om händelser är oberoende. Om för två händelser A och B gäller att P(B|A) = P(B), det vill säga om sannolikheten för B är oberoende av om A inträffat eller ej, sägs A och B vara oberoende. Enligt uttrycket för betingad sannolikhet erhålls

P(B|A)=P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

Detta kan skrivas om till den viktiga multiplikationsregeln. Om

P(A\cap B) = P(A)P(B)

sägs A och B vara oberoende händelser.

Multiplikationsregeln kan formuleras för ett godtyckligt antal händelser:

Sannolikheten för en följd av n händelser där varje händelse Ai har sannolikheten pi är produkten av sannolikheterna p enligt
P(A_1\cap A_2\cap...\cap A_n) = p_1\cdot p_2\cdots p_n
om de n händelserna är oberoende.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Antag att vid tärningskast, A är sannolikheten för "etta" och B är sannolikheten för "jämnt antal prickar". Sannolikheten för att i två på varandra följande kast med en välgjord tärning först erhålla en etta och i nästa kast ett jämnt antal prickar är

P(A)P(B)=\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{6}=\frac{1}{12}

då händelserna "etta" och "jämnt antal prickar" kan antas vara oberoende.

Komplementär händelse[redigera | redigera wikitext]

En komplementär händelse till händelsen A är en händelse, som inträffar när A inte inträffar.

Complementary-event-probability.svg

Sannolikheten för att A inte inträffar är

P(A^\complement) = 1 - P(A)

Antag att händelserna A1, A2,..., An är oberoende och att P(Ai) = pi.

Vilken är sannolikheten för att minst en av dem inträffar vid n försök?

Sannolikheten för att ingen av dem inträffar är produkten av sannolikheterna för motsvarande komplementära händelser

P(A_1^\complement \cap A_2^\complement \cap...\cap A_n^\complement)=(1-p_1)(1-p_2)\cdots(1-p_n)

Sannolikheten för att minst en av händelserna inträffar är sannolikheten för komplementet till händelsen "ingen av dem inträffar":

1-(1-p_1)(1-p_2)\cdots(1-p_n)

Sannolikheten att vid kast med tre tärningar få minst en sexa blir då

1-(1-\frac{1}{6})(1-\frac{1}{6})(1-\frac{1}{6}) = 1-\left( \frac{5}{6}\right)^3=1-\frac{125}{216} = \frac{91}{216}

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Transportskador[redigera | redigera wikitext]

Ett företag skickar gods med flyg, buss och tåg. 20% av godset skickas med flyg, 30% med buss och 50% med tåg. Andelen transportskadat gods är 3% med flyg, 10% med buss och 5% med tåg.

Sannolikhet-ex-1.svg

Låt F, B och T betyda transport med flyg, buss respektive tåg. Låt S beteckna händelsen att godset är transportskadat.

Därmed är givet att

P(F) = 0,20\quad P(B) = 0,30\quad P(T) = 0,50

och att

P(S|F) = 0,03\quad P(S|B) = 0,10\quad P(S|T) = 0,05

1. Hur stor andel av godset kan antas vara transportskadat?

Sannolikheten för transportskadat gods kan skrivas

P(S) = P(S\cap F)+P(S\cap B)+P(S\cap T)=
=P(F)\cdot P(S|F)+P(B)\cdot P(S|B)+P(T)\cdot P(S|T) =
= 0,20\cdot 0,03 + 0,30\cdot 0,10 + 0,50\cdot 0,05 = 0,061

där definitionen av betingad sannolikhet utnyttjats.

Andelen transportskadat gods kan således antas vara cirka 6%.

2. Om mottaget gods är skadat, vilken är sannolikheten för att godset transporterats med buss?

Enligt definitionen av betingad sannolikhet är den sökta sannolikheten

P(B|S)=\frac{P(S\cap B)}{P(S)}

där P(S) enligt ovan är 0,061.

Den betingade sannolikheten för S om B inträffat är

P(S|B)=\frac{P(S\cap B)}{P(B)}

vilket ger

P(S\cap B) = P(B)\cdot P(S|B) = 0,30\cdot 0,10 = 0,03

och därmed är

P(B|S)=\frac{0,03}{0,061} = 0,4918...

Par i poker[redigera | redigera wikitext]

Tre exempel på pokerhänder med ett par

Vad är sannolikheten att få par (och endast par) i första given? Enligt den klassiska sannolikhetsdefinitionen är denna, kvoten mellan antalet gynnsamma fall och antalet möjliga fall.

Antalet sätt som fem kort kan väljas utan hänsyn till ordning, då ordning inte spelar någon roll för en pokerhand, kan anges med en binomialkoefficient enligt

m = {52 \choose 5}

där m alltså är antalet möjliga fall.

Då fyra kort per valör kan bilda par kan detta ske på

13\cdot {4 \choose 2}

sätt. De tre övriga korten måste ha annan valör än det valda paret. Om vi först väljer unik valör (för att undvika par och tretal bland de tre korten) bland de återstående tolv och sedan svit, kan de tre korten väljas på

{12 \choose 3}\cdot 4^3

sätt och enligt multiplikationsprincipen blir då antalet gynnsamma fall

g = 13\cdot {4 \choose 2}\cdot {12 \choose 3}\cdot 4^3

Därmed kan den sökta sannolikheten skrivas som

\frac{g}{m} = \frac{ 13 \cdot {4 \choose 2} \cdot {12 \choose 3}\cdot 4^3 } {{52 \choose 5}} = \frac {13 \cdot 6 \cdot 220 \cdot 64} {2\ 598\ 960} = \frac {1\ 098\ 240} {2\ 598\ 960} \approx 42,2\%

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Gunnar Blom, Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar, Lund 1972
  • William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Wiley International, New York 1950.

Se även[redigera | redigera wikitext]