Sannolikhet

Sannolikheten att i första given få Royal straight flush i klöver är 1/2598960

Sannolikhet är, i strikt bemärkelse, ett mått på hur troligt det är att en viss händelse inträffar. Sannolikhet i en allmän och vagare mening, är graden av ett omdömes eller en teoris rationella trovärdighet eller graden av någons benägenhet att tro att ett visst påstående är sant.

I den förstnämnda betydelsen, kan sannolikheten för att en viss händelse E skall inträffa vid ett försök, betecknas med P(E) och den klassiska sannolikhetsdefinitionen innebär att P(E) = n/N, där N är det totala antalet lika sannolika utfall och n antalet utfall sådana att händelsen E inträffar.

Om vid kast med en tärning E är händelsen att antalet prickar är udda blir P(E) lika med

Sannolikhetsmåttet P är en funktion som till varje möjlig händelse E ordnar ett reellt tal P(E), sådant att 0 ≤ P(E) ≤ 1. Ju mer sannolikt det är att en händelse E inträffar, desto större värde har P(E).

Sannolikhetsberäkningar är en del av sannolikhetsteorin vilken tillämpas inom discipliner som matematik, finans och hasardspel. Teorin är uppdelad i två huvuddiscipliner, den moderna och den klassiska. Sannolikhetsteorins grunder är Kolmogorovs axiom, mängdteori och kombinatorik.

Historik

Christiaan Huygens var troligen den förste att publicera en bok om sannolikhet		Andrej Kolmogorov lade grunden för den moderna sannolikhetsteorin

Sannolikhetsteorin kan delas upp i klassisk och modern sannolikhetsteori. Den klassiska har sitt ursprung i Frankrike och Italien under 1500-1600-talen där den bland annat användes för hasardspel. Viktiga klassiska sannolikhetsteoretiker är Gerolamo Cardano, Blaise Pascal, Thomas Bayes, Pierre de Fermat, Jakob Bernoulli, Abraham de Moivre och Pierre-Simon de Laplace. Viktiga begrepp inom disciplinen är bland andra klassisk sannolikhetsdefinition, geometriska sannolikhetrum, kombinatorik och bayesiansk statistik.

Den moderna sannolikhetsteorin löste ett av problemen med den klassiska; den klassiska klassificerar inte händelser och sannolikhet med exakta matematiska koncept. Andrej Kolmogorov upptäckte att den klassiska kan beskrivas med mängd- och måtteoretiska metoder, vilket resulterade i sannolikhetsrummet, det viktigaste moderna sannolikhetsteoretiska begreppet. Detta resulterade i Kolmogorovs axiom.

Beräkning av sannolikheter

För analys och beräkningar av sannolikheter är mängdlärans metoder och symboler mycket användbara.

Diagram för "A och B" (A snitt B) samt "A eller B" (A union B)

Händelser

Varje möjligt utfall av en slumpmässig process är en elementarhändelse. Mängden av alla möjliga elementarhändelser utgör utfallsrummet (också kallat händelserummet) och betecknas vanligen med Ω.

En delmängd av utfallsrummets elementarhändelser kallas en händelse. Om den process vi vill beskriva är kast med en tärning kan elementarhändelserna betecknas med talen 1 till 6 och utfallsrummet Ω blir

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

eller med diagram

Om vi utgår från kast med en tärning kan vi beskriva händelsen A = "antalet prickar är udda" med mängden

{1, 3, 5}

eller i diagramform

Om den slumpmässiga processen är "kast med två tärningar" är varje elementarhändelse ett av paren

(1, 1), (1, 2),...(1, 6); (2, 1), (2, 2),...(2, 6);...

och utfallsrummet kan beskrivas i tabellform som

Om händelsen A är "kast med två tärningar där summan av antalet prickar är mindre än 4" är

A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

eller i tabellform

Händelsen A omfattar således tre elementarhändelser.

Venn-diagram kan användas för att beskriva händelser.

Sannolikhetsfördelning för ett kontinuerligt utfallsrum uppdelat i nio elementarhändelser.

Slag av utfallsrum

Diskret utfallsrum

Om antalet elementarhändelser är ändligt eller uppräkneligt sägs Ω vara ett diskret utfallsrum.

Kontinuerligt utfallsrum

Om antalet elementarhändelser inte är uppräkneligt sägs Ω vara ett kontinuerligt utfallsrum. Ett kontinuerligt utfallsrum måste diskretiseras, uppdelas i intervall, för att elementarhändelserna skall kunna tilldelas nollskilda sannolikheter.

Tilldelning av sannolikhet

Innan sannolikhetsberäkningar kan göras för händelser i utfallsrummet måste elementarhändelserna tilldelas sannolikheter.

Klassisk sannolikhetsdefinition

Om vi återgår till exemplet med tärningskast är en möjlighet att anta att de verkliga tärningarna kan approximeras tillräckligt väl av idealiserade tärningar för vilka varje resultat kan antas ha samma chans att förekomma.

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen är

$P=\mathrm{\frac{antalet\ gynnsamma\ fall}{antalet\ m\ddot{o}jliga\ fall}}$

där alla utfall antas ha samma möjligheter att inträffa, det vill säga utfallen har en likformig fördelning.

Antalet gynnsamma fall för utfallet "fem" är 1 och antalet möjliga utfall är 6 vilket ger sannolikheten för "fem" som

$P(5) = \frac{1}{6}$

Empirisk sannolikhet

Verkliga tärningar kan antas ha defekter av flera slag och vi kan vara intresserade av att göra en noggrannare bestämning av tärningarnas egenskaper. En undersökning av hur ofta en etta inträffar skulle kunna ge resultatet

Antalet kast	Etta som resultat	Relativ frekvens
10	1	0,1
100	18	0,18
1000	182	0,182
10000	1683	0,1683

Den relativa frekvensen kan användas som ett mått på sannolikhet. Om antalet gånger händelsen A inträffat är n och totala antalet utfall är N, kan en approximation till sannolikheten skrivas som

$P(A)=\frac{n}{N}$

Detta slag av sannolikhet kallas empirisk sannolikhet.

Vanligt förekommande sannolikhetsfördelningar

Galtons bräda ger en approximation av binomialfördelningen

Hur sannolikheterna fördelar sig på olika händelser kallas en sannolikhetsfördelning vilken kan beskrivas med en diskret eller kontinuerlig täthetsfunktion. Vissa sannolikhetsfördelningar är användbara för många olika slumpprocesser och det finns utarbetade metoder för att använda dessa. Ett sätt att tilldela sannolikheter är att helt enkelt välja någon av dessa fördelningar.

Några ofta förekommande sannolikhetsfördelningar:

• Likformig fördelning
• Binomialfördelning
• Hypergeometrisk fördelning
• Normalfördelning
• Poissonfördelning

Sannoliketsmåttet P

För funktionen P gäller enligt Kolmogorovs axiomsystem vilket är grundläggande för sannolikhetsläran:

• $0 \le P(\cdot) \le 1$

För att P skall kunna avbilda sannolikheten 0 måste Ω innehålla en null-händelse (tomma mängden).

• $P(\Omega) = 1$

det vill säga, summan av sannolikheterna för alla elementarhändelser måste vara 1:

$\sum_{i=1}^N P(e_i) = 1$

• $P(A \cup B)= P(A) + P(B)$ om A och B är disjunkta händelser

$A \cup B = \{1,2,3,4,5\}$
$A \cap B = \{\}$

Då A och B saknar gemensamma händelser är

P(alla element som tillhör A eller B) = P(A) + P(B)

Additionssatsen för två händelser

$A \cup B = \{1,2,3,5\}$
$A \cap B = \{1\}$

Sannolikheten för "A eller B inträffar" om A och B har gemensamma händelser är

$P(A \cup B)= P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Om A och B har gemensamma händelser kommer dessa att räknas två gånger i summan P(A) + P(B) och subtraktionen korrigerar för detta.

Betingad sannolikhet

Antag att vi har åtta pennor och väljer slumpmässigt och med lika sannolikhet en av dessa.

Om A betyder "röd penna väljs" blir enligt den klassiska sannolikhetsdefinitionen

$P(A)=\frac{3}{8}$

Om B betyder "lång penna väljs" är

$P(B)=\frac{5}{8}$

Vi ser också att

$P(A \cap B)=\frac{2}{8}$

då endast två pennor är både röda och långa.

Om en röd penna har valts, hur stor är sannolikheten för att den är lång? Denna sannolikhet definieras som

$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

och kallas den betingade sannolikheten för B om A har inträffat.

I exemplet med pennorna blir

$P(B|A)=\frac{\frac{2}{8}}{\frac{3}{8}} = \frac{2}{3}$

Oberoende händelser

Inom sannolikhetsläran är begreppet oberoende händelser mycket betydelsefullt. Om för två händelser A och B gäller att P(B|A) = P(B), det vill säga om sannolikheten för B är oberoende av om A inträffat eller ej, sägs A och B vara oberoende. Enligt uttrycket för betingad sannolikhet erhålls

$P(B|A)=P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Detta kan skrivas om till den viktiga multiplikationsregeln. Om

$P(A\cap B) = P(A)P(B)$

sägs A och B vara oberoende händelser.

Multiplikationsregeln kan formuleras för ett godtyckligt antal händelser:

Sannolikheten för en följd av n händelser där varje händelse A_i har sannolikheten p_i är produkten av sannolikheterna p enligt

$P(A_1\cap A_2\cap...\cap A_n) = p_1\cdot p_2\cdots p_n$

om de n händelserna är oberoende.

Exempel

Antag att vid tärningskast A är sannolikheten för "etta" och B är sannolikheten för "jämt antal prickar". Sannolikheten för att i två på varandra följande kast med en välgjord tärning först erhålla en etta och i nästa kast ett jämt antal prickar är

$P(A)P(B)=\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{6}=\frac{1}{12}$

då händelserna "etta" och "jämt antal prickar" kan antas vara oberoende.

Komplementär händelse

En komplementär händelse till händelsen A är en händelse som inträffar när A inte inträffar.

Sannolikheten för att A inte inträffar är

$P(A^\complement) = 1 - P(A)$

Antag att händelserna A₁, A₂,..., A_n är oberoende och att P(A_i) = p_i.

Vilken är sannolikheten för att minst en av dem inträffar vid n försök?

Sannolikheten för att ingen av dem inträffar är produkten av sannolikheterna för motsvarande komplementära händelser

$P(A_1^\complement \cap A_2^\complement \cap...\cap A_n^\complement)=(1-p_1)(1-p_2)\cdots(1-p_n)$

Sannolikheten för att minst en av händelserna inträffar är sannolikheten för komplementet till händelsen "ingen av dem inträffar":

$1-(1-p_1)(1-p_2)\cdots(1-p_n)$

Sannolikheten att vid kast med tre tärningar få minst en sexa blir då

$1-(1-\frac{1}{6})(1-\frac{1}{6})(1-\frac{1}{6}) = 1-\left( \frac{5}{6}\right)^3=1-\frac{125}{216} = \frac{91}{216}$

Exempel

Transportskador

Ett företag skickar gods med flyg, buss och tåg. 20% av godset skickas med flyg, 30% med buss och 50% med tåg. Andelen transportskadat gods är 3% med flyg, 10% med buss och 5% med tåg.

Låt F, B och T betyda transport med flyg, buss respektive tåg. Låt S beteckna händelsen att godset är transportskadat.

Därmed är givet att

$P(F) = 0,20\quad P(B) = 0,30\quad P(T) = 0,50$

och att

$P(S|F) = 0,03\quad P(S|B) = 0,10\quad P(S|T) = 0,05$

1. Hur stor andel av godset kan antas vara transportskadat?

Sannolikheten för transportskadat gods kan skrivas

$P(S) = P(S\cap F)+P(S\cap B)+P(S\cap T)=$

$=P(F)\cdot P(S|F)+P(B)\cdot P(S|B)+P(T)\cdot P(S|T) =$

$= 0,20\cdot 0,03 + 0,30\cdot 0,10 + 0,50\cdot 0,05 = 0,061$

där definitionen av betingad sannolikhet utnyttjats.

Andelen transportskadat gods kan således antas vara cirka 6%.

2. Om mottaget gods är skadat, vilken är sannolikheten för att godset transporterats med buss?

Enligt definitionen av betingad sannolikhet är den sökta sannolikheten

$P(B|S)=\frac{P(S\cap B)}{P(S)}$

där P(S) enligt ovan är 0,061.

Den betingade sannolikheten för S om B inträffat är

$P(S|B)=\frac{P(S\cap B)}{P(B)}$

vilket ger

$P(S\cap B) = P(B)\cdot P(S|B) = 0,30\cdot 0,10 = 0,03$

och därmed är

$P(B|S)=\frac{0,03}{0,061} = 0,4918...$

Par i poker

Tre exempel på pokerhänder med ett par

Vad är sannolikheten att få par (och endast par) i första given? Enligt den klassiska sannolikhetsdefinitionen är denna kvoten mellan antalet gynnsamma fall och antalet möjliga fall.

Antalet sätt som fem kort kan väljas utan hänsyn till ordning, då ordning inte spelar någon roll för en pokerhand, kan anges med en binomialkoefficient enligt

$m = {52 \choose 5}$

där m alltså är antalet möjliga fall.

Då fyra kort per valör kan bilda par kan detta ske på

$13\cdot {4 \choose 2}$

sätt. De tre övriga korten måste ha annan valör än det valda paret. Om vi först väljer unik valör (för att undvika par och tretal bland de tre korten) bland de återstående tolv och sedan svit, kan de tre korten väljas på

${12 \choose 3}\cdot 4^3$

sätt och enligt multiplikationsprincipen blir då antalet gynnsamma fall

$g = 13\cdot {4 \choose 2}\cdot {12 \choose 3}\cdot 4^3$

Därmed kan den sökta sannolikheten skrivas som

$\frac{g}{m} = \frac{ 13 \cdot {4 \choose 2} \cdot {12 \choose 3}\cdot 4^3 } {{52 \choose 5}} = \frac {13 \cdot 6 \cdot 220 \cdot 64} {2\ 598\ 960} = \frac {1\ 098\ 240} {2\ 598\ 960} \approx 42,2\%$

Källor

• Gunnar Blom, Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar, Lund 1972

Se även

• Odds
• Risk
• Sannolikhetsteori
• Sannolikhetsrum
• Sannolikhetsfördelning
• Betingad sannolikhet