Multipel-zetafunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är multipel zetafunktionerna generaliseringar av Riemanns zetafunktion definierade som


\zeta(s_1, \ldots, s_k) = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \frac{1}{n_1^{s_1} \cdots n_k^{s_k}} = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \prod_{i=1}^k \frac{1}{n_i^{s_i}},
\!

och konvergerar då Re(s1) + ... + Re(si) > i för alla i. Såsom Riemanns zeta-funktion kan multipel-zetafunktionen fortsättas analytisk till en meromorfisk funktion. Då s1, ..., sk är alla positiva heltal (med s1 > 1) kallas summorna ofta för multipel-zetavärden eller Eulersummor.

Om samma argument förekommer flera gånger brukar man skriva det kompaktare, exempelvis

\zeta(2,1,2,1,3) = \zeta(\{2,1\}^2,3).

Två parametrar[redigera | redigera wikitext]

Med två parametrar är (där s > 1 och n,m heltal)

\zeta(s,t) = \sum_{n > m \geq 1} \ \frac{1}{n^{s} m^{t}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} \sum_{m=1}^{n-1} \frac{1}{m^t} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{s}} \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m^t}
\zeta(s,t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{n,t}}{(n+1)^s} där where H_{n,t} generaliserade harmoniska talen.

En identitet av Euler:


\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{(n+1)^2} = \zeta(2,1) = \zeta(3) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}
\!

där Hn är de harmoniska talen.

Speciella värden av dubbla zetafunktionen med s > 0 och jämnt, t > 1 och udda, s+t:=2N+1, definiera ζ(0) = 0:

\zeta(s,t)=\zeta(s)\zeta(t)+\tfrac{1}{2}\Big[\tbinom{s+t}{s}-1\Big]\zeta(s+t)-\sum_{r=1}^{N-1}\Big[\tbinom{2r}{s-1}+\tbinom{2r}{t-1}\Big]\zeta(2r+1)\zeta(s+t-1-2r).

Andra resultat[redigera | redigera wikitext]

För positiva heltal a,b,\dots,k:

\sum_{n=2}^{\infty} \zeta(n,k) = \zeta(k+1) eller mer allmänt
\sum_{n=2}^{\infty} \zeta(n,a,b,\dots,k) = \zeta(a+1,b,\dots,k)
\lim_{k \to \infty}\zeta(n,k) = \zeta(n)-1
\zeta(a,a)=\tfrac{1}{2}\Big[(\zeta(a))^{2}-\zeta(2a)\Big]
\zeta(a,a,a)=\tfrac{1}{6}(\zeta(a))^{3}+\tfrac{1}{3}\zeta(3a)-\tfrac{1}{2}\zeta(a)\zeta(2a).

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Multiple zeta function, 23 december 2013.