Polära koordinater

Polära och rektangulära koordinater i två dimensioner

Polära koordinater används i en form av tvådimensionellt koordinatsystem där en punkt identifieras av ett avstånd från en fix punkt samt av en vinkel.

Avståndskoordinaten är punktens avstånd r från origo och vinkelkoordinaten är vinkeln mellan x-axeln och linjen genom origo och punkten.

Cirkulära koordinater är ett annat namn för polära koordinater.

Samband med kartesiska koordinater

Transformering från polära koordinater till kartesiska koordinater sker genom

${\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \end{cases}}$

och för transformering från kartesiska koordinater till polära kan

${\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta =\arctan {\cfrac {y}{x}}\quad x\neq 0\end{cases}}$

användas. Funktionen arctan(y/x) fungerar korrekt endast för första och fjärde kvadranten, varför vissa programbibliotek har funktionen atan2(y, x) vilken ger värden för samtliga kvadranter enligt

$\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &x<0{\mbox{, }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &x<0{\mbox{, }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&x=0{\mbox{, }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&x=0{\mbox{, }}y<0\\{\text{odefinierad}}&x=0{\mbox{, }}y=0\end{cases}}$

Exempel på kurvor beskrivna med polära koordinater

En cirkel med ekvationen r(φ) = 1

Den "polära rosen" med ekvationen r(φ) = 2 sin 4φ

En gren av Arkimedes spiral med ekvationen r(φ) = φ / 2π för 0 < φ < 6π

n-dimensionella polära koordinater

Polära koordinater i tre dimensioner

Ett polärt koordinatsystems av n-1 dimensioner kan utökas till n dimensioner genom att en axel läggs till mot vilken svarar en ny vinkelkoordinat $\vartheta _{n-2}\in [0,\pi ]$.

I ett rätvinkligt koordinatsystem kan schemat för omvandling till rektangulära koordinater i det n-dimensionella fallet skrivas som

${\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\ \cos \varphi \ \sin \vartheta _{1}\ \sin \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{2}&=&r\ \sin \varphi \ \sin \vartheta _{1}\ \sin \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{3}&=&r\ \cos \vartheta _{1}\ \sin \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{4}&=&r\ \cos \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \qquad \qquad \qquad \quad \\x_{n-1}&=&r\ \cos \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{n}&=&r\ \cos \vartheta _{n-2}\end{array}}$