Algebraisk varietet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en algebraisk varietet ett geometriskt objekt som lokalt definieras av polynomekvationer.

Affina varieteter[redigera | redigera wikitext]

Det enklaste exemplet på algebraiska varieteter är de affina algebraiska varieteterna. Givet en kropp k så är en affin algebraisk varietet över k en delmängd till det affina rummet A^n(k) som för något koordinatsystem x_1,...,x_n kan beskrivas som den gemensamma lösningsmängden för ett antal polynom p_1,...,p_m i variablerna x_1,...,x_n .

Då kroppen k är algebraiskt sluten, vilket är det geometriska fallet, kan man visa att lösningsmängden bestäms unikt av radikalen för idealet som genereras av polynomen p_1,...,p_m i polynomringen k[x_1,...,x_n] . Efter att ha infört ett isomorfibegrepp för affina algebraiska varieteter kan man vidare visa att två varieteter givna av polynomen p_1,...,p_mrespektive p_1',...,p_m' är isomorfa omm det gäller att

\frac{k[x_1,...,x_n]}{\sqrt{\langle p_1,...,p_m\rangle}}\cong  \frac{k[x_1,...,x_n]}{\sqrt{\langle p_1',...,p_m'\rangle}}

Studiet av affina algebraiska varieteter över en algebraiskt sluten kropp k är således väsentligen ekvivalent med studier av helhetsområden som är ändliggenererade algebror över k.

Projektiva varieteter[redigera | redigera wikitext]

En projektiv varietet är en delmängd till det projektiva rummet P^n(k) som är nollställemängden till ett antal homogena polynom med variabler x_0,...,x_n från en givet homogent koordinatsystem på P^n(k). Projektiva varieteter har en egenskap, kompletthet, som är analog med kompakthet för topologiska rum.

Mer generella varieteter[redigera | redigera wikitext]

Under den tidiga utvecklingen av teorin för jacobianer konstruerade Weil ett abstrakt varietetsbegrepp genom att definiera ihopklistringar av affina varieteter. Inom ramen för detta varietetsbegrepp ryms varieteter som inte kan ges någon projektiv struktur.

Weils teori blev emellertid snart omodern i och med utvecklingen av Grothendiecks teori för scheman, som drastiskt generaliserade begreppet varietet. Den moderna definitionen av en algebraisk varietet sker med hjälp av schemabegreppet, som ett schema med vissa särskilda egenskaper.

Referenser[redigera | redigera wikitext]