Andragradsyta

Inom matematiken är en andragradsyta en D-dimensionell hyperyta definierad som lösningsmängden till ett kvadratiskt polynom. Med koordinater {x₀, x₁, x₂, …, x_D} definieras den allmänna andragradsytan av ekvationen

$\sum _{i,j=0}^{D}Q_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=0}^{D}P_{i}x_{i}+R=0$

där Q är en D+1 dimensionell matris, P är en D+1 dimensionell vektor, och R en konstant. Värdena Q, P och R tas ofta som reella tal eller komplexa tal.

I normalform skrivs en tre-dimensionell (D=3) andragradsyta centrerad i origo (0,0,0) som:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}\pm {\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

Med translationer och rotationer kan varje andragradsyta transformeras till en av flera normalformer. I det tre-dimensionella euklidiska rummet finns 16 sådana normalformer. De mest intressanta är följande:

Yta	Ekvation	Plot
Ellipsoid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\,$
Rotationsellipsoid eller sfäroid (specialfall av ellipsoid)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\,$
Sfär (specialfall av rotationsellipsoid)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}}}=1\,$
Elliptisk paraboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z=0\,$
Cirkulär paraboloid (specialfall av elliptisk paraboloid)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-z=0\,$
Hyperbolisk paraboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z=0\,$
Enmantlad hyperboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\,$
Tvåmantlad hyperboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\,$
kon	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0\,$
Elliptisk cylinder	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,$
Cirkulär cylinder (specialfall av elliptisk cylinder)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1\,$
Hyperbolisk cylinder	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,$
Parabolisk cylinder	$x^{2}+2y=0\,$

Se även

• Kvadratisk form

Externa länkar

• [1], Quadrics in Geometry Formulas and Facts av Silvio Levy, utdrag från 30:e upplagan av "CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press)".

Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.