Basbyte

Vektor representerad i två olika baser

Basbyte är inom linjär algebra en transformation från en bas till en annan. Låt

$\mathbf {e} =(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},...,\mathbf {e} _{n})$

vara den gamla basen för Rⁿ och

$\mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},...,\mathbf {f} _{n})$

vara den nya basen för Rⁿ och

$\mathbf {f} =\mathbf {e} \,P$

där transformationsmatrisen P är en icke singulär matris vars kolonner utgörs av koordinaterna för de nya basvektorerna uttryckta i gamla basen.

För koordinatmatriserna för vektor x i baserna x_e och x_f gäller då att

$\mathbf {x} _{e}=P\,\mathbf {x} _{f}$

$\mathbf {e} =\mathbf {f} \,P^{-1}$

Om baserna är ortogonala baser är P en ortogonal matris vilket ger att

$P^{-1}=P^{T}$

Vid linjär avbildning av matrisen A från R^m till Rⁿ, där alla vektorer är i standardbaser, gäller sambandet

$A_{e;f}=Q^{-1}A\,P$

där Q och P är de matriser vars kolonner utgörs av de nya baserna för R^m och Rⁿ.