Tjebysjovpolynom

Chebyshevpolynomen är en serie ortogonala polynom uppkallade efter Pafnutij Tjebysjov.

Definition

Chebyshevpolynomen av första ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}.$

De kan även definieras trigonometriskt som

$T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!.$

Deras genererande funktion är

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!$

Den exponentiella generérande funktionen är

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\tfrac {1}{2}}\left(e^{(x-{\sqrt {x^{2}-1}})t}+e^{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})t}\right).\,\!$

En annan genererande funktion är

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}\left(x\right){\frac {t^{n}}{n}}=\ln {\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}.$

Chebyshevpolynomen av andra ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}$

Deras genererande funktion är

$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Chebyshev polynomials, 5 november 2013.