Dedekindsumma

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En dedekindsumma är en slags summor som innehåller summor och produkter av sågtandskurvan.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Definiera sågtandsfunktionen \left( \left( \right) \right):\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} som

((x))=\begin{cases}
x-\lfloor x\rfloor - 1/2, &\mbox{if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z};\\
0,&\mbox{if }x\in\mathbb{Z}.
\end{cases}

Då definieras

D(a,b;c)=\sum_{n \bmod c} \left( \Bigg( \frac{an}{c} \Bigg) \right)  \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)

a=1 skrivs funktionen ofta som

s(b,c) = D(1,b;c).

Reciprocitetslagen[redigera | redigera wikitext]

Om b och c är relativt prima heltal är

s(b,c)+s(c,b) =\frac{1}{12}\left(\frac{b}{c}+\frac{1}{bc}+\frac{c}{b}\right)-\frac{1}{4}.

En generalisering av Hans Rademacher är följande: om a,b och c är parvis relativt prima är

D(a,b;c)+D(b,c;a)+D(c,a;b)=\frac{1}{12}\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}-\frac{1}{4}.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dedekind sum, 21 november 2013.