Visa källa för Disjunktion

{{Omdirigering|Eller|efternamnet Eller|Eller (efternamn)|std}}
{{omdirigering|OR}}

{{Logiskafunktioner2}}
{{multiple image
 | header = 
 | align = right
 | direction = vertical
 | width = 220
 | image1 = OR-logical.png
 | alt1 =
 | caption1 = OR: ''A'' eller ''B''
 | image2 = NOR-logical.png
 | alt2 =
 | caption2 = NOR: varken ''A'' eller ''B''
 | image3 = XOR-logical.png
 | caption3 = XOR: antingen ''A'' eller ''B''
}}
'''Disjunktion''', som i [[satslogik]]en är liktydigt med '''inklusiv disjunktion''', är en [[logisk operator]]. Generellt skiljer man inom logik och språk på ''inklusiv disjunktion'' eller ''svag disjunktion'', som uttrycks med "eller", och ''exklusiv disjunktion'' eller ''stark disjunktion'', som uttrycks med "antingen eller".

Påståendet, ''p eller q'', är [[Sanningsvärde|sant]] om minst en av ''p'' och ''q'' är sann och påståendet, ''antingen p eller q'', är sant om exakt en av ''p'' och ''q'' är sann.

Det finns många skillnader mellan normal användning av "eller" i talspråket och motsvarande operator i satslogiken. Ofta förutsätts någon form av naturligt eller rimligt samband mellan leden i disjunktionen i talspråket.

I satsen: "Te eller kaffe serveras efter desserten", uppfattas disjunktionen som stark medan den i satsen: "Pensionärer eller barn har fri entré", uppfattas som svag.

== Representation ==
Inklusiv disjunktion betecknas med <math>\lor</math> och exklusiv disjunktion med <math>\underline{\lor}</math>. I [[boolesk algebra]] betecknas inklusiv disjunktion med <math>+</math>. Exklusiv disjunktion har i den booleska algebran ingen distinkt symbol, men betecknas i andra sammanhang med <math>\oplus</math>, vilket står för räkning [[Modulo|modulo-2]].

När inte symbolen <math>\underline{\lor}</math> är tillgänglig skrivs den ibland ut som '''XOR'''. I programmeringsspråken [[Java (programspråk)|Java]], [[C (programspråk)|C]] och [[C++]] används [[Insättningstecken|insättningstecknet]] (alltså ^).

== Sanningsfunktion och sanningstabell ==
Disjunktionens egenskaper beskrivs i [[Satslogik|logiken]] som en funktion – en [[sanningsfunktion]] – av de ingående påståendenas [[sanningsvärde]]n. Detta beskrivs med  [[sanningstabell]]er, där F = falsk och S = sann:

{| style="text-align:center"
|-
| width="120" |
{{sanningstabell}}
|+ '''Inklusiv&nbsp;disjunktion'''
| ''p'' || ''q'' || ''p'' eller ''q''
|-
| F || F || F
|-
| F || S || S
|-
| S || F || S
|-
| S || S || S
|}
| width="120" |
{{sanningstabell}}
|+ '''Exklusiv&nbsp;disjunktion'''
| ''p'' || ''q'' ||Antingen ''p'' eller ''q''
|-
| F || F || F
|-
| F || S || S
|-
| S || F || S
|-
| S || S || F
|}
|}

=== Boolesk algebra ===
I boolesk algebra skrivs inklusiv disjunktion och exklusiv disjunktion enligt
:''p'' eller ''q'' = ''p'' + ''q''
:Antingen ''p'' eller ''q'' = ''p'' · ''q'' ' + ''p'' ' · ''q'', där ''p'' ' och ''q'' ' är inverserna till ''p'' respektive ''q''.
Med talen 0 för falsk och 1 för sann och de booleska reglerna 1 + 1 = 1 och 1 ⊕ 1 = 0 fås tabellerna 

{| style="text-align:center"
|-
| width="200" |
{{sanningstabell}}
|+ '''Inklusiv&nbsp;disjunktion'''
|| ''p'' || ''q'' || ''p'' eller ''q''
|-
| 0 || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 0 || 1
|-
| 1 || 1 || 1
|}
| width="200" |
{{sanningstabell}}
|+ '''Exklusiv&nbsp;disjunktion'''
| ''p'' || ''q'' || Antingen ''p'' eller ''q''
|-
| 0 || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 0 || 1
|-
| 1 || 1 || 0
|}
|}

I en variant av boolesk algebra, där minustecknet införts och där vanliga räkneregler gäller, det vill säga utan specialregler för de matematiska operationerna + och ·,  beskrivs de två disjunktionerna med sanningsfunktionerna
: ''p'' OR ''q'' = ''p'' + ''q'' - ''p''·''q'' <br />
: ''p'' XOR ''q'' = ''p'' + ''q'' - 2·''p·q'' 
med egenskaper enligt tabellerna

{| style="text-align:center"
|-
| width="200" |
{{sanningstabell}}
|+ '''Inklusiv&nbsp;disjunktion'''
| ''p'' || ''q'' || ''p'' + ''q'' - ''p·q''
|-
| 0 || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 0 || 1
|-
| 1 || 1 || 1
|}
| width="200" |
{{sanningstabell}}
|+ '''Exklusiv&nbsp;disjunktion'''
| ''p'' || ''q'' || ''p'' + ''q'' - 2·''p''·''q''
|-
| 0 || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 0 || 1
|-
| 1 || 1 || 0
|}
|}

== Tekniska lösningar ==
I elektriska kretsar, pneumatik, hydraulik, mekanik etcetera kan funktioner som motsvarar disjunktioner realiseras, som i kombination med andra logiska funktioner kan byggas ihop till komplex funktionalitet. Några exempel:

=== Parallellkoppling ===
Om till exempel två parallellkopplade brytare seriekopplas med en lampa måste båda brytarna vara från för att lampan ska vara släckt; i annat fall tänds lampan. Detta realiserar en inklusiv disjunktion.

[[Fil:Logic-OR.svg|mini|left|upright|Parallellkoppling]]{{clear|left}}

=== Trappomkastare ===
En korsad trappomkastare realiserar en exklusiv disjunktion (se bild).

[[Fil:Logic-XOR.svg|mini|left|Korsad trappomkastare]]{{clear|left}}

=== OR-grind och XOR-grind ===
I digitaltekniken realiseras samma funktioner med logiska byggblock, '''OR-grind''' respektive '''XOR-grind'''. "Värdena" är här signalena "hög" och "låg" som motsvarar bestämda spänningsintervall. Dessa betecknas vanligen med 1 = hög och 0 = låg.

{| style="text-align:center"
|-
| [[Fil:OR-gate-IEC.png|frame|IEC-symbol]]
| [[Fil:OR-gate-US.png|frame|US-symbol]]
|
{{sanningstabell}}
|+ '''Inklusiv&nbsp;disjunktion'''
| ''A'' || ''B'' || ''A'' OR ''B''
|-
| 1 || 1 || 1
|-
| 1 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 0 || 0 || 0
|}
|}

{| style="text-align:center"
|-
| [[Fil:XOR-gate-IEC.png|frame|IEC-symbol]]
| [[Fil:XOR-gate-US.png|frame|US-symbol]]
|
{{sanningstabell}}
|+ '''Exklusiv&nbsp;disjunktion'''
| ''A'' || ''B'' || ''A'' XOR ''B''
|-
| 1 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 0 || 0 || 0
|}
|}
Ett [[integrerad krets|integrerat kretsblock]] som tillhandahåller OR-grindar är till exempel 7432 som innehåller fyra separata grindar.
74386 innehåller fyra separata XOR-grindar.

== Spelteori ==
Inom spelteori, heter XOR nim-summa och betecknas <math>\oplus</math>, från att den används i analys av spelet [[Nim]].

== Referenser ==
* Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.
* Raymond M Smullyan, First-Order Logic, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York, 1968.
* Elliott Mendelson, Elementary Logic, Oxford University Press, London 1965.
* Göran Hermerén, Satslogik, Studentlitteratur, Lund 1967.
* Per-Erik Danielsson, Digital teknik, Studentlitteratur, Lund 1974.

[[Kategori:Logiska operatorer]]