Dixons identitet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Dixons identitet (eller Dixons sats eller Dixons formel) en av flera olika men nära relaterade identiteter bevisade av A. C. Dixon för summor med binomialkoefficienter.

Identiteterna[redigera | redigera wikitext]

Den ursprungliga identiteten av Dixon (1891) är

\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a\choose k+a}^3 =\frac{(3a)!}{(a!)^3}.

En generalisering, som också ibland kallas Dixons identitet, är

\sum_{k=-a}^a(-1)^k{a+b\choose a+k} {b+c\choose b+k}{c+a\choose c+k}  = \frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}

där a, b och c är icke-negativa heltal. Summan i vänstra membrum är den terminerande hypergeometriska serien

{b+c\choose b-a}{c+a\choose c-a}{}_3F_2(-2a,-a-b,-a-c;1+b-a,1+c-a;1)

och identiteten följer av identiteten

\;_3F_2 (a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)=
\frac{\Gamma(1+a/2)\Gamma(1+a/2-b-c)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}
{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a/2-b)\Gamma(1+a/2-c)}

av Dixon (1902) då a närmar sig ett heltal. Den icke-terminerande identiteten ovan gäller då Re(1 + 12abc) > 0. Då c närmar sig −∞ blir den Kummers formel för hypergeometriska funktionen 2F1 vid −1.

q-Analogier[redigera | redigera wikitext]

En q-analogi av Dixons formel ges av

\;_{4}\phi_3 \left[\begin{matrix} 
a & -qa^{1/2} & b & c \\ 
&-a^{1/2} & aq/b & aq/c \end{matrix} 
; q,qa^{1/2}/bc \right] =
\frac{(aq,aq/bc,qa^{1/2}/b,qa^{1/2}/c;q)_\infty}{(aq/b,aq/c,qa^{1/2},qa^{1/2}/bc;q)_\infty}

med |qa1/2/bc| < 1.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dixon's identity, 25 februari 2014.