Eulerkarakteristik

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Eulerkarakteristisken är en topologisk invariant i form av ett tal. Den introducerades av Euler när han studerade konvexa polyedrar. Han noterade att uttrycket v - e + r, där v betecknar antalet hörn, e antalet kanter, och r antalet regioner (områden på polyedern som begränsas av sidor), är lika med 2 oavsett vilken polyeder som betraktas. Exempelvis har en kub 8 hörn, 12 kanter, och 6 regioner. Eulerkarakteristiken för kuben är därför 8 - 12 + 6 = 2.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Att dimensionen för de tre klasserna hörn, kant, region, är 0, 1, respektive 2 i definitionen ovan, motiverar följande allmännare definition för ändliga CW-komplex X: \chi = \sum_{i=0} ^{n-1} (-1)^ik_i, där k_n är antalet n-dimensionella celler (topologiska rum homeomorfa till ett n-dimensionellt simplex) i CW-komplexet.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Låt A och B vara delmängder av ett topologiskt rum. För eulerkarakteristiken \chi( \cdot) gäller:

  • \chi(A \times B) = \chi(A) \cdot \chi(B)
  • \chi(A \cup B) = \chi(A) + \chi(B) - \chi(A \cap B)

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Torusen, liksom cirkeln, har eulerkarakteristik 0. Det slutna intervallet [0,1] har eulerkarakteristik 2.