Geronos lemniskata

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Geronos Lemniskata, a = 1.
Konstruktion av Geronos lemniskata med en cirkel.
Konstruktion av Geronos lemniskata med två cirklar.

Geronos lemniskata, eller åttkurvan, är en plan fjärdegradskurva som ser ut som symbolen för oändlighet (∞) eller som en liggande åtta. Kurvan är sluten, x = 0 och y = 0 är symmetriaxlar och punkten (0,0) är symmetripunkt. Den har fått sitt namn efter den franske matematikern Camille-Christophe Gerono.

Alla punkter på kurvan uppfyller ekvationen

x^4 = a^2(x^2-y^2);\quad a>0 [1]

I polära koordinater blir kurvans ekvation

r^2=a^2 sec^4\theta cos(2\theta)\,.

Den kan också parametriseras:

\begin{cases}
x=a \sin t\\
y=a \sin t\cos t
\end{cases}

Kurvans area är:

A=\tfrac{4}{3}a^2

Konstruktion[redigera | redigera wikitext]

Det finns flera sätt att konstruera kurvan med passare och rätskiva:[2]

  • Man väljer en punkt P som vandrar på cirkeln med radien a. Punkten M är P:s projektion på linjen med ekvationen x = 1. Linjen OM korsar den vertikala linjen som passerar P, vilket ger punkten N på lemniskatan.
  • Man väljer en punkt P som vandrar på cirkeln med radien a och centrum O och ritar en cirkel med diameter a och centrum Q som tangerar den stora cirkeln inifrån. Linjen OP möter den lilla cirkeln vid O och M. Den horisontella linjen som passerar M korsar den vertikala linjen som passerar P, vilket ger punkten N på lemniskatan.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ F. Kirwan (1992). Complex Algebraic Curves. Cambridge University Press. Sid. 23. ISBN 0521423538 
  2. ^ ”Mathcurve” (på franska). http://www.mathcurve.com/courbes2d/gerono/gerono.shtml. Läst 10 november 2009. 

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. Sid. 124. ISBN 0-486-60288-5