Geronos lemniskata

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Geronos Lemniskata, a = 1.
Konstruktion av Geronos lemniskata med en cirkel.
Konstruktion av Geronos lemniskata med två cirklar.

Geronos lemniskata, eller åttkurvan, är en plan fjärdegradskurva som ser ut som symbolen för oändlighet (\infty) eller som en liggande åtta. Kurvan är sluten, x=0 och y=0 är symmetriaxlar och punkten (0,0) är symmetripunkt. Den har fått sitt namn efter den franske matematikern Camille-Christophe Gerono.

Alla punkter på kurvan uppfyller ekvationen

x^4 = a^2(x^2-y^2);\quad a>0.[1]

I polära koordinater blir kurvans ekvation

r^2=a^2 sec^4\theta cos(2\theta)\,.

Den kan också parametriseras:

\begin{cases}
x=a \sin t\\
y=a \sin t\cos t
\end{cases}

Kurvans area är A=\tfrac{4}{3}a^2.

Konstruktion[redigera | redigera wikitext]

Det finns flera sätt att konstruera kurvan med passare och rätskiva:[2]

  • Man väljer en punkt P som vandrar på cirkeln med radien a. Punkten M är P:s projektion på linjen med ekvationen x=1. Linjen OM korsar den vertikala linjen som passerar P, vilket ger punkten N på lemniskatan.
  • Man väljer en punkt P som vandrar på cirkeln med radien a och centrum O och ritar en cirkel med diameter a och centrum Q som tangerar den stora cirkeln inifrån. Linjen OP möter den lilla cirkeln vid O och M. Den horisontella linjen som passerar M korsar den vertikala linjen som passerar P, vilket ger punkten N på lemniskatan.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ * F. Kirwan (1992). Complex Algebraic Curves. Cambridge University Press. Sid. 23. ISBN 0521423538 
  2. ^ ”Mathcurve” (på franska). http://www.mathcurve.com/courbes2d/gerono/gerono.shtml. Läst 10 november 2009. 

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. Sid. 124. ISBN 0-486-60288-5