Harada–Nortons grupp

Inom matematiken är Harada–Nortons grupp HN en sporadisk enkel grupp av ordning

2¹⁴ · 3⁶ · 5⁶ · 7 · 11 · 19

= 273030912000000

≈ 3 × 10¹⁴.

Historia och egenskaper[redigera | redigera wikitext]

HN är en av de 26 sporadiska grupperna och upptäcktes av Harada (1976) och Norton (1975).

Dess Schurmultiplikator är trivial och dess yttre automorfigrupp har ordning 2.

HN har en involution vars centraliserare är av formen 2.HS.2, där HS är Higman-Sims grupp.

Primtalet 5 har en speciell roll gällande gruppen. Exempelvis centraliserar den ett element av ordning 5 i Monstergruppen och som en följd av detta verkar den naturligt på en hörnoperatoralgebra över kroppen med 5 element (Lux, Noeske & Ryba 2008). Ur detta följer att den verkar på en algebra av dimension 133 över F₅ med en kommutativ men oassociativ produkt, analog till Griessalgebran (Ryba 1996).

Maximala delgrupper[redigera | redigera wikitext]

Norton & Wilson (1986) upptäckte de 14 konjugatklasserna av maximala delgrupper av HN:

A₁₂
2.HS.2
U₃(8):3
2¹⁺⁸.(A₅ × A₅).2
(D₁₀ × U₃(5)).2
5¹⁺⁴.2¹⁺⁴.5.4
2⁶.U₄(2)
(A₆ × A₆).D₈
2³⁺²⁺⁶.(3 × L₃(2))
5²⁺¹⁺².4.A₅
M₁₂:2 (Två klasser)
3⁴:2.(A₄ × A₄).4
3¹⁺⁴:4.A₅

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Harada–Norton group, 8 juni 2015.

Harada, Koichiro (1976), ”On the simple group F of order 2¹⁴ · 3⁶ · 5⁶ · 7 · 11 · 19”, Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975), Boston, MA: Academic Press, s. 119–276
Lux, Klaus; Noeske, Felix; Ryba, Alexander J. E. (2008), ”The 5-modular characters of the sporadic simple Harada–Norton group HN and its automorphism group HN.2”, Journal of Algebra 319 (1): 320–335, doi:10.1016/j.jalgebra.2007.03.046, ISSN 0021-8693
S. P. Norton, F and other simple groups, PhD Thesis, Cambridge 1975.
Norton, S. P.; Wilson, Robert A. (1986), ”Maximal subgroups of the Harada-Norton group”, Journal of Algebra 103 (1): 362–376, doi:10.1016/0021-8693(86)90192-4, ISSN 0021-8693
Ryba, Alexander J. E. (1996), ”A natural invariant algebra for the Harada-Norton group”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 119 (4): 597–614, doi:10.1017/S0305004100074454, ISSN 0305-0041

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]