Henons attraktor

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Henons attraktor, a = 1.4, b = 0.3

Henons attraktor är ett exempel på ett diskret dynamiskt system. Den har fått sitt namn efter den franska astronomen och matematikern Michele Henon. Då den ursprungliga attraktorn som lades fram av Henon uppvisar kaotiska egenskaper gör det Henons attraktor till ett av de mest kända exemplena på ett dynamiskt system med kaotiskt beteende.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Michele Henon arbetade under 1960- och 70-talen med att studera dynamiken bakom hur stjärnor och andra himlakroppar förflyttar sig inuti galaxer. Henon upptäckte attraktorn när han försökte skapa en modell för dessa himlakroppars kaotiska banor då de påverkas av en gravitationskälla.

Hur man skapar Henons attraktor[redigera | redigera wikitext]

Henons attraktor är en fraktal som tillhör gruppen kaotiska attraktorer. En kaotisk attraktor är det underliggande mönster som uppkommer då ett kaotiskt system plottas i en graf.

För att skapa Henons attraktor behöver man ett ekvatonssystem med två ekvationer, en ekvation för x-värden och en ekvation för y-värden, och en startpunkt (xn,yn). Den första attraktorn som skapades av Michele Henon på 1970-talet använde sig av följande två ekvationer:

x_{n+1} = y_n + 1 - ax_n^2

y_{n+1} = b\,\!x_n

Ekvationssystemet appliceras på startpunkten varvid en ny punkt uppkommer. Denna punkt plottas i en graf och processen upprepas på nytt med denna nya punkt. Fortsätter man denna iteration och räknar ut nya värden som plottas i grafen (väldigt många värden) så kommer ett mönster att börja framträda. Detta mönster är Henons attraktor.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Till en början kommer denna process till synes placera punkter helt slumpmässigt i grafen. Först när ett stort antal värden har plottats kommer ett mönster att framträda. Fortsätter iterationen så kommer punkterna snart bli så många att de ser ut att bilda heldragna linjer. Om man vid det här laget börjar zooma in på de linjer som bildats så kommer man snart märka att det som från början såg ut som enskilda linjer i själva verket är uppbyggda av andra linjer. Denna egenskap, att det är möjligt att zooma in och få en likadan bild igen, kallas "self-similarity" och är en egenskap som finns hos många fraktaler. Egenskapen förutsätter att ett oändligt antal iterationer genomförs, annars kommer man för eller senare se hur linjerna successivt löses upp i enskilja punkter.

Parametrarna a och b[redigera | redigera wikitext]

Som vi ser i ekvationen ovan så beror formlerna på två parametrar, a och b. Parametrarna a och b bestämmer hur värdena som fås då ekvationssystemet appliceras på en punk kommer att bete sig, det vill säga om systemet till exempel kommer att bete sig kaotiskt eller oregelbundet. För den första attraktor använde sig Henon av värdena a = 1{,}4 och b = 0{,}3 vilka skapar attraktorn i bilden högst upp.

Det är möjligt att ändra på värdena för a och b och på så sätt skapa attraktorer som skiljer sig från den på bilden. Det gäller dock att vara försiktig då det endast är möjligt att göra små förändringar i ett litet intervall kring originalvärdena för a och b om fraktalen fortfarande ska likna Henon attraktorn.

Här nedan finns några bilder på andra Henons attraktorer med olika värden för a och b.

Referenser[redigera | redigera wikitext]