Komplexkonjugat

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Komplexa tal och deras konjugerade värden i det komplexa talplanet. Talen är varandras speglingar i den reella axeln

Komplexkonjugatet till ett komplext tal är det komplexa tal som har samma realdel och där imaginärdelen har samma belopp men är av motsatt tecken. Konjugering innebär att i det komplexa talplanet avbilda talet som dess spegling i den reella axeln. Komplexkonjugatet av ett tal \ z = a + b\,\mathrm i betecknas med \bar{z} eller z^* och kan definieras som

\bar{z} = \overline{a+b\,\mathrm i} = a - b\,\mathrm i\quad a,b\in \mathbb{R}

Till exempel är

\overline{2 + 3\,\mathrm i} = 2 - 3\,\mathrm i
\overline{5} = 5
\overline{\mathrm i} = -\mathrm i

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

För alla komplexa tal z och w gäller

\overline{(z + w)} = \overline{z} + \overline{w}
\overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w}
\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}} om w\neq 0
\overline{z} = z \!\ om och endast om \ z är reellt
\left|\overline{z} \right| = \left| z \right|
 \arg(\overline{z}) = -\arg(z)
{\left| z \right|}^2 = z\overline{z}
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{\ \left| z \right|^2} om z\neq 0

Komplexkonjugering är ett av de enklaste exemplen på en icke-analytisk funktion.