Kovariant vektor

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kovariant vektor kallas inom allmän relativitetsteori en vektor med index nere, \; x_a. Att en vektor har index uppe eller nere har enbart matematisk betydelse.

En kovariant vektor transformeras genom division med (omvänt proportionellt mot) skalan.

I ett kartesiskt koordinatsystem (3-dimensionellt, rätlinjigt och ortogonalt) sammanfaller x-axeln med y-z-planets normal, y-axeln med x-z-planets normal och z-axeln med x-y-planets normal.

För att entydigt beskriva en vektor i ett kartesiskt system kan man projicera den på axlarna och ange axelprojektionernas storlek. Om man i stället projicerar på plannormalerna får man samma resultat. Men för icke-ortogonala koordinatsystem sammanfaller inte axlarna med plannormalerna. En vektor får då olika komponenter om man projicerar på axlarna eller på plannormalerna.

Axelkomponenterna kallas kontravarianta och plannormalkomponenterna kallas kovarianta.

För att skilja mellan kontravarianta och kovarianta komponenter använder man superscript (index placerat upptill på liknande sätt som exponenter brukar placeras) för kontravarianta komponenter och subscript (index placerat nedtill) för kovarianta komponenter.

En vektor som beskriver någon fysikalisk storhet är naturligtvis oberoende av hur vi väljer vårt koordinatsystem. Men om vi byter koordinatsystem ändras dess komponenter. Eftersom den är entydigt bestämd av sina komponenter kan vi finna målsystemets komponenter genom att projecera utgångssytemets komponenter på axlar eller plannormaler och för varje målsystemkomponent summera bidraget från alla utgångssystemkomponenterna.

Om utgångssystemets x-axel (x) bildar vinkeln α med målsystemets x-axel (x') projicerar vi vektorns x-komposant genom att multiplicera med cos α (riktningscosinus). Om det är fråga om kartesiska koordinatsystem gäller att

      cos α = δx'/ δx  = δx/ δx'

Man kan alltså utgå från utgångssytemet och bestämma cos α genom att se hur en förflyttning i x-led projiceras på målsystmets x-axel eller utgå från målsystemet och se på resultatet i utgångssystemet. I båda fallen får man samma värde på cos α.

Men vid skaländring och för icke-ortogonala system får man olika resultat. Om man använder δx'/δx kallas då transformationen kontravariant och om man använder δx/δx' kallas den kovariant.

Källa: M R Spiegel Vector Analysis Schaum's outline series McGraw-Hill Book Company 1959

Se även[redigera | redigera wikitext]