Figur 1.
L'Huiliers sats är en sats inom den sfäriska trigonometrin som säger att det sfäriska överskottet
E
=
α
+
β
+
γ
−
π
{\displaystyle E=\alpha +\beta +\gamma -\pi }
(beteckningar enligt figur 1) för en sfärisk triangel på en enhetssfär är:[ 1]
tan
E
4
=
tan
s
2
⋅
tan
s
−
a
2
⋅
tan
s
−
b
2
⋅
tan
s
−
c
2
{\displaystyle \tan {E \over 4}={\sqrt {\tan {\frac {s}{2}}\cdot \tan {\frac {s-a}{2}}\cdot \tan {\frac {s-b}{2}}\cdot \tan {\frac {s-c}{2}}}}}
där
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
är triangelns semiperimeter (halva omkrets).
Förhållandet, med vars hjälp man kan beräkna en sfärisk triangels area direkt ur dess sidlängder, upptäcktes av den schweiziske matematikern Simon Antoine Jean L'Huilier .
Ett liknande förhållande ges av Cagnolis sats [ 2] (uppkallad efter den italienske astronomen och matematikern Antonio Cagnoli )
sin
E
2
=
sin
s
⋅
sin
(
s
−
a
)
⋅
sin
(
s
−
b
)
⋅
sin
(
s
−
c
)
2
⋅
cos
a
2
⋅
cos
b
2
⋅
cos
c
2
{\displaystyle \sin {\frac {E}{2}}={\frac {\sqrt {\sin s\cdot \sin(s-a)\cdot \sin(s-b)\cdot \sin(s-c)}}{2\cdot \cos {\frac {a}{2}}\cdot \cos {\frac {b}{2}}\cdot \cos {\frac {c}{2}}}}}
Vi utnyttjar att vi från den plana trigonometrin har
sin
x
−
sin
y
cos
x
+
cos
y
=
2
cos
x
+
y
2
⋅
2
sin
x
−
y
2
2
cos
x
+
y
2
⋅
2
cos
x
−
y
2
=
sin
x
−
y
2
cos
x
−
y
2
{\displaystyle {\frac {\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}}={\frac {2\cos {\frac {x+y}{2}}\cdot 2\sin {\frac {x-y}{2}}}{2\cos {\frac {x+y}{2}}\cdot 2\cos {\frac {x-y}{2}}}}={\frac {\sin {\frac {x-y}{2}}}{\cos {\frac {x-y}{2}}}}}
och med
x
=
α
+
β
{\displaystyle x=\alpha +\beta }
och med
y
=
π
−
γ
{\displaystyle y=\pi -\gamma }
får vi därför i andra steget:
tan
E
4
=
tan
α
+
β
+
γ
−
π
4
=
=
sin
α
+
β
+
γ
−
π
4
cos
α
+
β
+
γ
−
π
4
=
=
sin
α
+
β
2
−
sin
π
−
γ
2
cos
α
+
β
2
+
cos
π
−
γ
2
=
=
sin
α
+
β
2
−
cos
γ
2
cos
α
+
β
2
+
sin
γ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {E}{4}}&=\tan {\frac {\alpha +\beta +\gamma -\pi }{4}}=\\&={\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta +\gamma -\pi }{4}}}{\cos {\frac {\alpha +\beta +\gamma -\pi }{4}}}}=\\&={\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}-\sin {\frac {\pi -\gamma }{2}}}{\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}+\cos {\frac {\pi -\gamma }{2}}}}=\\&={\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}-\cos {\frac {\gamma }{2}}}{\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}}}\end{aligned}}}
Med hjälp av två av Delambres analogier
sin
α
+
β
2
cos
γ
2
=
cos
a
−
b
2
cos
c
2
⇔
sin
α
+
β
2
=
cos
a
−
b
2
cos
γ
2
cos
c
2
{\displaystyle {\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}\Leftrightarrow \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}}
och
cos
α
+
β
2
sin
γ
2
=
cos
a
+
b
2
cos
c
2
⇔
cos
α
+
β
2
=
cos
a
+
b
2
sin
γ
2
cos
c
2
{\displaystyle {\frac {\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}\Leftrightarrow \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\cos {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}}
får vi
tan
E
4
=
cos
a
−
b
2
⋅
cos
γ
2
cos
c
2
−
cos
γ
2
cos
a
+
b
2
⋅
sin
γ
2
cos
c
2
+
sin
γ
2
=
=
cos
a
−
b
2
cos
γ
2
−
cos
c
2
⋅
cos
γ
2
cos
a
+
b
2
sin
γ
2
+
cos
c
2
⋅
sin
γ
2
=
=
cos
a
−
b
2
−
cos
c
2
cos
a
+
b
2
+
cos
c
2
⋅
cos
γ
2
sin
γ
2
=
sin
a
−
b
+
c
4
⋅
sin
c
−
a
+
b
4
cos
a
+
b
+
c
4
⋅
cos
a
+
b
−
c
4
⋅
cot
γ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {E}{4}}&={\frac {{\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}-\cos {\frac {\gamma }{2}}}{{\frac {\cos {\frac {a+b}{2}}\cdot \sin {\frac {\gamma }{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}}}=\\&={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-\cos {\frac {c}{2}}\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+\cos {\frac {c}{2}}\cdot \sin {\frac {\gamma }{2}}}}=\\&={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}-\cos {\frac {c}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}+\cos {\frac {c}{2}}}}\cdot {\frac {\cos {\frac {\gamma }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}\\&={\frac {\sin {\frac {a-b+c}{4}}\cdot \sin {\frac {c-a+b}{4}}}{\cos {\frac {a+b+c}{4}}\cdot \cos {\frac {a+b-c}{4}}}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}\end{aligned}}}
Där vi i sista steget utnyttjade
cos
x
−
cos
y
=
−
sin
x
+
y
2
⋅
sin
x
−
y
2
=
sin
x
+
y
2
⋅
sin
y
−
x
2
{\displaystyle \cos x-\cos y=-\sin {\frac {x+y}{2}}\cdot \sin {\frac {x-y}{2}}=\sin {\frac {x+y}{2}}\cdot \sin {\frac {y-x}{2}}}
och
cos
x
+
cos
y
=
cos
x
+
y
2
⋅
cos
x
−
y
2
{\displaystyle \cos x+\cos y=\cos {\frac {x+y}{2}}\cdot \cos {\frac {x-y}{2}}}
.
Vi inför nu
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
och tar hjälp av den sfäriska formeln för cotangens för halva vinkeln ,
cot
γ
2
=
sin
s
⋅
sin
(
s
−
c
)
sin
(
s
−
a
)
⋅
sin
(
s
−
b
)
{\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\sin s\cdot \sin(s-c)}{\sin(s-a)\cdot \sin(s-b)}}}}
och sedan av den plantrigonometriska
sin
x
=
2
sin
x
2
cos
x
2
{\displaystyle \sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}
, vilket ger
tan
E
4
=
sin
s
−
b
2
⋅
sin
s
−
a
2
cos
s
2
⋅
cos
s
−
c
2
⋅
sin
s
⋅
sin
(
s
−
c
)
sin
(
s
−
a
)
⋅
sin
(
s
−
b
)
=
=
sin
s
−
b
2
⋅
sin
s
−
a
2
cos
s
2
⋅
cos
s
−
c
2
⋅
2
sin
s
2
⋅
cos
s
2
⋅
2
sin
s
−
c
2
⋅
cos
s
−
c
2
2
sin
s
−
a
2
⋅
cos
s
−
a
2
⋅
2
sin
s
−
b
2
⋅
cos
s
−
b
2
=
=
sin
2
s
−
b
2
⋅
sin
2
s
−
a
2
⋅
sin
s
2
⋅
cos
s
2
⋅
sin
s
−
c
2
⋅
cos
s
−
c
2
cos
2
s
2
⋅
cos
2
s
−
c
2
⋅
sin
s
−
a
2
⋅
cos
s
−
a
2
⋅
sin
s
−
b
2
⋅
cos
s
−
b
2
=
=
sin
s
2
⋅
sin
s
−
a
2
⋅
sin
s
−
b
2
⋅
sin
s
−
c
2
cos
s
2
⋅
cos
s
−
a
2
⋅
cos
s
−
b
2
⋅
cos
s
−
c
2
=
=
tan
s
2
⋅
tan
s
−
a
2
⋅
tan
s
−
b
2
⋅
tan
s
−
c
2
Q
.
E
.
D
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {E}{4}}&={\frac {\sin {\frac {s-b}{2}}\cdot \sin {\frac {s-a}{2}}}{\cos {\frac {s}{2}}\cdot \cos {\frac {s-c}{2}}}}\cdot {\sqrt {\frac {\sin s\cdot \sin(s-c)}{\sin(s-a)\cdot \sin(s-b)}}}=\\&={\frac {\sin {\frac {s-b}{2}}\cdot \sin {\frac {s-a}{2}}}{\cos {\frac {s}{2}}\cdot \cos {\frac {s-c}{2}}}}\cdot {\sqrt {\frac {2\sin {\frac {s}{2}}\cdot \cos {\frac {s}{2}}\cdot 2\sin {\frac {s-c}{2}}\cdot \cos {\frac {s-c}{2}}}{2\sin {\frac {s-a}{2}}\cdot \cos {\frac {s-a}{2}}\cdot 2\sin {\frac {s-b}{2}}\cdot \cos {\frac {s-b}{2}}}}}=\\&={\sqrt {\frac {\sin ^{2}{\frac {s-b}{2}}\cdot \sin ^{2}{\frac {s-a}{2}}\cdot \sin {\frac {s}{2}}\cdot \cos {\frac {s}{2}}\cdot \sin {\frac {s-c}{2}}\cdot \cos {\frac {s-c}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {s}{2}}\cdot \cos ^{2}{\frac {s-c}{2}}\cdot \sin {\frac {s-a}{2}}\cdot \cos {\frac {s-a}{2}}\cdot \sin {\frac {s-b}{2}}\cdot \cos {\frac {s-b}{2}}}}}=\\&={\sqrt {\frac {\sin {\frac {s}{2}}\cdot \sin {\frac {s-a}{2}}\cdot \sin {\frac {s-b}{2}}\cdot \sin {\frac {s-c}{2}}}{\cos {\frac {s}{2}}\cdot \cos {\frac {s-a}{2}}\cdot \cos {\frac {s-b}{2}}\cdot \cos {\frac {s-c}{2}}}}}=\\&={\sqrt {\tan {\frac {s}{2}}\cdot \tan {\frac {s-a}{2}}\cdot \tan {\frac {s-b}{2}}\cdot \tan {\frac {s-c}{2}}}}\qquad Q.E.D.\end{aligned}}}
Isaac Todhunter , 1886, Spherical Trigonometry: For the Use of Colleges and Schools , Macmillan & Co. Faksimil PDF (3 MB) , TeX PDF (789 kB) . 1883 års upplaga online på Google Books . L'Huiliers sats behandlas i artikel 102 på sid.70.
John Casey, 1889, A Treatise on Spherical Trigonometry, and Its Application to Geodesy and Astronomy, with Numerous Examples , Dublin, Hodges, Figgis, & co. Online på Archive.org . PDF (5,5 MB) . Se artiklarna 46-48, sid. 43-44 och kapitel 5, sid. 85 ff.
^ Eric W. Weisstein, L'Huiliers Theorem på Wolfram MathWorld.
^ Todhunter (1886), artikel 101, sid. 70.