Sfärisk triangel

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
En sfärisk triangel ABC begränsad av tre storcirklar och där de inre vinklarna anges i blått
Vinkelsumman växer med triangelns storlek

En sfärisk triangel är en triangel på ytan av en sfär. Triangeln begränsas av storcirkelbågar. Vinkelsumman ligger mellan 180 grader för en liten triangel och 540 för en triangel som upptar nästan en hel halvsfärs yta, under förutsättning att ingen vinkel får vara större än 180 grader (eulersk triangel). Om detta villkor inte gäller är den övre gränsen för vinkelsumman 900 grader.

Area och sfäriskt överskott[redigera | redigera wikitext]

Arean av den sfäriska triangeln kan beräknas med hjälp av de inre vinklarna (i radianer) och sfärens radie enligt Girards sats:

Jämfört med det plangeometriska fallet, sägs den sfäriska triangeln ha ett vinkelöverskott eller sfäriskt överskott, det vill säga summan av de inre vinklarna är större än 180 grader, eller, med alla vinklar givna i radianer, är överskottet

För en allmän sfärisk triangel gäller

och för en eulersk triangel

Genom att tillämpa sfärisk trigonometri kan vinkelöverskottet E beräknas med hjälp av triangelns sidolängder a, b och c enligt L'Huiliers sats:[1][2]

där s = (a + b + c)/2 är triangelns semiperimeter (halva omkrets). Genom sambandet med Girards sats kan sedan triangelns area beräknas.

Beräkning av sidor och hörnvinklar[redigera | redigera wikitext]

Figur 3: De eulerska trianglarna och har vinkeln och sidorna och lika. Eftersom är likbent, är och således . Denna typ av obestämdhet förekommer även hos plana trianglar.
Figur 4: De eulerska trianglarna och har sidan och vinklarna och lika. Vinklarna är lika eftersom båda storcirklarna till respektive tangerar den orange parallellcirkeln med radien till storcirkeln , på varsin sida om och lika långt från meridianen genom . Sålunda är och . Denna typ av obestämdhet förekommer inte hos plana trianglar, eftersom vinkelsumman i sådana alltid är : eftersom och är givna, är även vinkeln i () given.

Om man känner alla tre sidlängderna, två sidlängder och en hörnvinkel, en sidlängd och två hörnvinklar eller, till skillnad från plana trianglar, alla tre hörnvinklarna, kan man beräkna de övriga med hjälp av formler från den sfäriska trigonometrin. (Observera att sfärisk trigonometri arbetar med en enhetssfär och uttrycker sidlängder i vinkelmått.)

Tre sidor kända: Beräkna vinklarna med hjälp av sfäriska cosinussatsen eller de sfäriska formlerna för halva vinkeln.
Två sidor och en vinkel kända: Använd de sfäriska cotangensformlerna om vinkeln är mellanliggande[3], annars först sfäriska sinussatsen för att få den andra motstående vinkeln (observera att det i detta fall ofta finns två lösningar, även för en eulersk triangel - se figur 3) och därefter Napiers analogier.
Två vinklar och en sida kända: Använd de sfäriska cotangensformlerna om sidan är mellanliggande[4], annars först sfäriska sinussatsen för att få den andra motstående sidan (observera att det i detta fall ofta finns två lösningar, även för en eulersk triangel - se figur 4) och därefter Napiers analogier.
Tre vinklar kända: Beräkna sidorna med hjälp av duala cosinussatsen eller de sfäriska formlerna för halva sidan.

Om en hörnvinkel är rät eller om en sida har längden π/2 finns det enklare metoder enligt nedan. Formlerna för den rätvinkliga triangeln kan även användas för andra trianglar (man måste dock känna antingen två sidor och ett hörn, eller två hörn och en sida), om man delar denna i två rätvinkliga trianglar[5] - det blir två sidor och en vinkel till att räkna ut, men beräkningarna blir å andra sidan enklare. Speciellt effektiv är metoden om två sidor eller två hörnvinklar är lika, eftersom man då har en likbent triangel som kan delas i två kongruenta rätvinkliga trianglar.

Rätvinkliga sfäriska trianglar[redigera | redigera wikitext]

I det fall en hörnvinkel i en sfärisk triangel är rät fås många enkla samband ur den sfäriska trigonometrins formler genom att cosinus och cotangens för en rät vinkel är noll, och sålunda försvinner många termer som innehåller cosinus eller cotangens för denna vinkel ur dessa formler (och i fallet med sinussatsen försvinner en faktor eftersom sinus är lika med ett för vinkeln). Nedan ges en uppsättning på tio enkla formler (under en rubrik som anger varifrån de härletts[6]) som gäller för den sfäriska triangeln , med sidlängderna , och , med de motstående hörnvinklarna , respektive den rätvinkliga .[7]

Sfäriska sinussatsen:
Sfäriska cotangensformlerna:
Duala cosinussatsen:
Sfäriska cosinussatsen:

Napiers minnesregel[redigera | redigera wikitext]

Figur 5: Napiers minnesregel för rätvinkliga sfäriska trianglar. A=α och B=β.

Om man ritar en figur med fem "tårtbitar" som den längst till höger i figur 5 och anger sidor och vinklar, med undantag för den räta vinkeln, i den ordning de kommer i triangeln, men i stället för de båda icke räta vinklarna och den sida som är hypotenusa anger komplementvinkeln, lyder Napiers minnesregel:[8] Välj en av de fem, sinus för denna är produkten av tangens för de båda intilliggande och produkten av cosinus för de båda övriga.[9]

Exempel: Vi väljer sidan b. Minnesregeln säger då

som återfinns som den tredje formeln från sfäriska cotangensformlerna ovan. Minnesregeln säger också

som vi återfinner som den andra formeln från sfäriska sinussatsen.

Trianglar med en sida med längden π/2[redigera | redigera wikitext]

Eftersom den polära triangeln har sidor som är supplementvinklar till triangelns hörn, innebär det att den polära triangeln till en rätvinklig triangel har en sida med längden , det vill säga att sidan är en storcirkelkvadrant. Vi kan således använda den polära dualitetssatsen på ovanstående formler för den rätvinkliga triangeln och få att för den sfäriska triangeln , med hörnvinklarna , och och de motstående sidlängderna , respektive storcirkelkvadranten gäller:[10]

Man kan konstruera en liknande minnesregel som för de rätvinkliga trianglarna, men enklare är att bara byta vinklar mot motstående sidor och vice versa, samt ändra tecken om cosinus förekommer en gång (ty ; även tangens och cotangens byter ju tecken för supplementvinkeln, men dessa förekommer endast parvis i formlerna).

Geometriska egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Den inskrivna cirkeln[redigera | redigera wikitext]

Figur 6: Den sfäriska triangeln , har den inskrivna cirkeln, med medelpunkt i P, bisektrisernas gemensamma skärningspunkt.

Liksom för en plan triangel skär hörnvinklarnas bisektriser varandra i en gemensam punkt, den inskrivna cirkelns medelpunkt.

Bevis
Betrakta den sfäriska triangeln i figur 6 till höger. Punkten ligger på bisektrisen (blå) till vinkeln i hörnet medan är "fotpunkt"[11] till och är "fotpunkt" till . Eftersom de båda trianglarna och delar sträckan som sida (hypotenusa), båda har samma vinkel i och deras vinklar i respektive båda är lika (räta) är trianglarna kongruenta. ligger även på bisektrisen till vinkeln i , så samma sak gäller trianglarna och , vilket ger att . Den cirkel som har medelpunkt i och radien är sålunda den inskrivna cirkeln till ty dess omkrets tangerar triangelns sidor i punkterna , och (vinkeln mellan sidan och radien till respektive sida är ju rät i respektive punkt). Att även ligger på bisektrisen till vinkeln i framgår på samma sätt ur att trianglarna och är kongruenta och således skär alla tre bisektriserna varandra i samma punkt.

Den inskrivna cirkelns medelpunkt är även medelpunkt till den polära triangelns omskrivna cirkel. För bevis se artikeln Polär triangel.

Längden av radien i den inskrivna cirkeln till triangeln (på en enhetssfär) med sidlängderna , och , och hörnvinklarna , respektive i de till dessa sidor motstående hörnen fås genom:

där .

Härledning
I triangeln i figur 6 har vi , och , vilket ger oss:
Eftersom vinkeln i är rät kan vi utnyttja (se ovan under avsnittet Rätvinkliga sfäriska trianglar, tredje formeln från de sfäriska cotangensformlerna - med bytta beteckningar[12]) för triangeln , vilket, med beteckningarna för triangeln i figur 6 ger:
Enligt den sfäriska formeln för tangens för halva vinkeln är , vilket ger:

Den omskrivna cirkeln[redigera | redigera wikitext]

Figur 7: Den sfäriska triangeln , har den omskrivna cirkeln, med medelpunkt i P, mittpunktsnormalernas gemensamma skärningspunkt.

Liksom i fallet med en plan triangel skär mittpunktsnormalerna till en sfärisk triangels sidor varandra i en gemensam punkt. Denna punkt är medelpunkt för den omskrivna cirkeln till triangeln.

Bevis
Betrakta triangeln i figur 7. Den omskrivna cirkelns medelpunkt ligger i . Sträckorna (storcirkelbågarna) från till triangelhörnen är radier i den omskrivna cirkeln, det vill säga . Alltså är , och likbenta trianglar och således går mittpunktsnormalerna till dessa trianglars tredje sida, , respektive , genom triangelhörnet .

Den omskrivna cirkelns medelpunkt är även medelpunkt till den polära triangelns inskrivna cirkel. För bevis se artikeln Polär triangel.

Längden av radien i den omskrivna cirkeln till triangeln (på en enhetssfär) med sidlängderna , och , och hörnvinklarna , respektive i de till dessa sidor motstående hörnen fås genom:

[13]

där .

Härledning
Triangeln i figur 7 delas av radierna från till triangelhörnen upp i de tre likbenta , och vars vinklar i hörnen och , och respektive och är inbördes lika, i figuren benämnda (blå), (orange) respektive (grön). Sålunda har vi:
vilket ger:
Eftersom triangeln är rätvinklig i hörnet , har hypotenusan med längden och kateten med längden (eftersom är mittpunktsnormal till som har längden ) kan vi utnyttja (se avsnittet Rätvinkliga sfäriska trianglar ovan, första formeln från de sfäriska cotangensformlerna - med ändrade beteckningar[14]), vilket med beteckningarna i figur 7 ger:
Den sfäriska formeln för tangens för halva sidan, , ger vidare:

Höjder och ortocentrum[redigera | redigera wikitext]

Figur 8: En sfärisk triangel (blå) och den till denna polära triangeln (röd). Höjderna är markerade med grönt och skär varandra i en gemensam punkt, ortocentrum. De skär varandra också i en diametralt motsatt punkt, ett andra ortocentrum, på sfären (ej utritat).

En höjd i en sfärisk triangel är en storcirkelbåge som går genom ett hörn och skär den motstående sidan, eller dess förlängning, i rät vinkel.

Storcirklarna till de tre höjderna i en sfärisk triangel, med högst ett rätvinkligt hörn, skär varandra i en gemensam punkt kallad ortocentrum - eller, rättare sagt i två punkter, eftersom storcirklar alltid skär varandra i två diametralt motsatta punkter. För ett bevis se artikeln Ortocentrum. Om ett, och endat ett, hörn i en sfärisk triangel är rätvinkligt, ligger ortocentrum i detta hörn. Ifall att exakt två hörn är rätvinkliga är det tredje hörnet pol till ekvatorn genom de båda rätvinkliga hörnen och således är alla storcirkebågar från polen till ekvatorn höjder för det icke rätvinkliga hörnet. Om alla tre vinklarna är rätvinkliga kan höjden till ett hörn ligga på vilken storcirkel som helst genom hörnet och en skärningspunkt mellan höjderna således åstadkommas varhelst man önskar på sfärens yta.

Höjdernas storcirklar i en sfärisk triangel sammanfaller med höjdernas storcirklar i den polära triangeln och därmed sammanfaller även de båda trianglarnas ortocentra. Se artikeln Polär triangel för bevis.

Höjderna beräknas genom att använda formlerna för rätvinkliga trianglar (se formlerna från sfäriska sinussatsen i avsnittet Rätvinkliga sfäriska trianglar ovan). Om vi vill beräkna höjden från hörnet till sidan kan vi använda

där är vinkeln i och .

Medianer och tyngdpunkt[redigera | redigera wikitext]

Figur 9: Den sfäriska triangelns medianer (blå) skär varandra i punkten eftersom medianerna (smala blå) till den underliggande plana triangeln gör så. De tre medianplanen, av vilka det till medianen markerats med grön färg, skär varandra längs den gröna räta linjen .
Figur 10: Triangeln med medianen . Hörnet ligger i polen och ligger på ekvatorn. Vi ser att , så är bisektris till . Eftersom och är kongruenta kan trianglarna och inte ha samma area. Eftersom tyngdpunkten till fyrhörningen uppenbarligen ligger på kan inte tyngdpunkten till triangeln göra det.

I en sfärisk triangel är en median en storcirkelbåge som går genom en sidas mittpunkt och det till sidan motstående hörnet. Medianerna skär varandra i en gemensam punkt.

Bevis
Betrakta den sfäriska triangeln på en enhetssfär med medelpunkt i i figur 9. Den räta linjen är bisektris till och delar triangelsidan i två lika delar. delar också den rätlinjiga kordan från till i två lika delar, vi kallar skärningspunkten (ej utmärkt i figuren). Samma sak gäller linjerna och gentemot respektive (sfäriska) triangelsidor och kordor. De tre kordorna bildar sidor i en plan triangel och i en sådan skär medianerna varandra i en gemensam punkt (se artikeln Median (geometri) för bevis) som vi kallar (ej utmärkt). De tre plan som spänns upp av respektive av de tre medianerna i den plana triangeln och sfärens medelpunkt skär varandra alltså längs den räta linjen (grön i figur 9). Eftersom ligger på ligger den rätlinjiga medianen i det plan som spänns upp av och . Men detta plan är ju detsamma som storcirkelplanet för den sfäriska medianen (gröntonat i figur 9). Således skär också de tre sfäriska medianplanen varandra längs linjen , och således skär de tre medianerna i den sfäriska triangeln varandra i en punkt (betecknad ) som ligger på

Längden av en median beräknas med hjälp av den sfäriska cosinussatsen eftersom två sidor och deras mellanliggande vinkel är kända. Således för, exempelvis, i figur 9 har vi sidorna och samt vinkeln i hörnet :

I en plan triangel delar medianen triangeln i två trianglar med lika area. Detta är inte fallet för en sfärisk triangel om den inte är likbent kring medianen.

Hos en plan triangel är medianernas skärningspunkt också triangelns tyngdpunkt, men detta gäller normalt inte för en sfärisk triangel (se figur 10 för ett tydligt exempel på detta). En median i en plan triangel delar triangeln i två trianglar med lika bas och lika höjd och som därför har sin respektive tyngdpunkt på samma avstånd från medianen, varför de båda trianglarnas gemensamma tyngdpunkt ligger medianen. För en sfärisk triangel gäller att tyngdpunkten ligger på en median endast om den delar en likbent triangel (i det mellanliggande hörnet till de lika sidorna) och för att tyngdpunkten skall ligga på alla tre medianerna måste triangeln således vara liksidig.

Vektorn till den sfäriska triangelns tyngdpunkt, på en enhetssfär, ges av:[15][16]

där är det sfäriska överskottet (se ovan under Area och sfäriskt överskott).

Med den polära triangeln till förenklas ovanstående uttryck till:

Referenser och noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ L'Huiliers Theorem på Wolfranm MathWorld.
  2. ^ Casey (1889), artikel 48, sid. 44. Todhunter (1886), artikel 102, sid. 70.
  3. ^ De båda kända sidorna möts i hörnet med den kända vinkeln.
  4. ^ De båda hörnen med kända vinklar ligger i varsin ände av den kända sidan,
  5. ^ Dela triangeln så att en känd sida blir hypotenusa med ett intilliggande känt hörn.
  6. ^ Två sinussatser innehåller , två av de sex cotangensformlerna innehåller och två , alla de tre duala cosinussatserna innehåller , men en av dem på "ett annat ställe" vilket ger "ett annorlunda resultat", och en av de tre cosinussatserna innehåller .
  7. ^ Casey (1889), artikel 35-37, sid. 32-35. Todhunter (1886), artikel 61-62, sid. 33-34.
  8. ^ John Napier, 1614, Mirifici logarithmorum canonis descriptio, ejusque usus, in utraque trigonometria; ut etiam in omni logistica mathematica, amplissimi, facillimi, & expeditissimi explicatio, Bok II, kapitel IV, sid. 30 ff. Engelsk översättning med kommentarer av Ian Bruce sid. 41 ff (10/31), PDF 300kB.
  9. ^ Casey (1889), artikel 38, sid. 35-36. Todhunter (1886), artikel 66, sid. 35-36.
  10. ^ Casey (1889), artikel 39, sid. 38-39.
  11. ^ Storcirkelplanet genom och är ett normalplan till storcirkelplanet genom och . Den rätlinjiga fotpunkten till på storcirkelplanet genom och ligger inne i sfären på skärningslinjen mellan de båda planen, varför "fotpunkt" här skrivs inom citationstecken - med "fotpunkt" avses här planens skärningslinjes skärningspunkt med sfärens yta, vilket innebär att vinkeln mellan de båda storcirkelbågarna är rät.
  12. ^ d (=a) och e (=b) är kateter och δ(=α) är motstående vinkel till d.
  13. ^ Notera att eftersom .
  14. ^ δ motsvarar α i formeln, h hypotenusan (c) och k den till δ närstående kateten (b).
  15. ^ J.E. Brock, 1975, The Inertia Tensor for a Spherical Triangle, i Journal of Applied Mechanics, mars 1975, sid. 239.
  16. ^ J.E. Brock, 1974, The centroid and inertia tensor for a spherical triangle , Monterey, California, Naval Postgraduate School.