Möbiusavbildning

Från Wikipedia

En Möbiusavbildning eller Möbiustransformation, efter August Ferdinand Möbius, är en bijektiv konform avbildning av det utökade komplexa talplanet (komplexa talen utökade med en punkt i oändligheten) på sig självt. En Möbiusavbildning bevarar vinklar och cirklinjer (räta linjer ses som cirklar som passerar oändlighetspunkten).

En Möbiusavbildning är en rationell funktion

där a, b, c, d ∈ ℂ : ad - bc ≠ 0

Följande gäller generellt för denna avbildning

  • punkten z = -d/c avbildas på ∞
  • punkten z = ∞ avbildas på a/c

Villkoret ad - bc ≠ 0 är nödvändigt för att transformationen skall vara inverterbar[särskiljning behövs]. Den inversa avbildningen ges av

En Möbiusavbildning bestäms entydigt om man anger tre punkter och vilka punkter de avbildas på, enligt följande: Låt z1, z2 och z3 vara de tre ursprungliga punkterna och w1, w2 respektive w3 vara de punkter de skall avbildas på. Då kan avbildningen skrivas

Spegelpunkter[redigera | redigera wikitext]

Spegelpunkten till ett komplext tal z relativt en cirkel med radie r och centrum i z0 är det tal z* som uppfyller följande:

  • ligger på strålen utgående från z0 genom z

Man definierar dessutom z0* = ∞. Om speciellt cirkeln är en linje L, så definiera z* som det tal som ligger på normalen till L som går genom z, och som ligger lika långt från L som z, men på andra sidan. Exempelvis gäller z* = z om l är reella tallinjen. Möbiusavbildningar överför z och dess spegelpunkt z* relativt en cirkel C på punkter w och w’, där w’ = w* relativt bilden av C (som är en cirkel).

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]