Sinc-funktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Den onormaliserade (röd) och normaliserade (blå) sinc-funktionen.

sinc-funktionen är en av två möjliga matematiska funktioner som vanligtvis betecknas sinc(x).

Inom teorin för signalbehandling och relaterade områden definieras oftast sinc-funktionen på följande vis

\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.\,\!

Den kallas för den normaliserade sinc-funktionen. Inom matematiken används den onormaliserade sinc-funktion som definieras enligt

\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}.\,\!

För båda definitionerna sätter man sinc(0) = 1. sinc(x) blir då en analytisk funktion överallt eftersom gränsvärdet för sinc(x) när x går mot 0 är just 1.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Den rektangulära funktionen.

Den normaliserade sinc-funktionen har nollställen vid alla heltal utom noll. Den kan också representeras som en produkt på följande vis

\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \lim_{m\to\infty}\prod_{n=1}^m \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right).\,\!

Fourier-transformen av den normaliserade sinc-funktionen är rektangelfunktionen rect(f),

\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t) \, e^{-2\pi i f t}\,dt = \mathrm{rect}(f),\,\!

där rec(f) = 1 då f ligger mellan −1/2 och 1/2, och noll för andra värden på f.