Sturm–Liouvilles ekvation

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Sturm-Liouvilles ekvation)
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Sturm–Liouvilles ekvation är en ordinär differentialekvation av andra graden:

Där λ är en (okänd) konstant, och p(x), q(x) och w(x) är kända funktioner, där w(x) kallas antingen densitetsfunktionen eller viktningsfunktionen. Ekvationen har vanligen flera lösningar (som fås med lämpliga randvillkor), beroende på λ. Konstanterna λ kallas egenvärden, och de motsvarande lösningarna uλ(x) egenfunktioner. I de fall randvillkoren och w ,p och q uppfyller vissa krav så har också lösningarna till ekvationen viktiga matematiska egenskaper.

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Ekvationen uppkommer genom omskrivning av en allmän linjär andra ordningens homogen ordinär differentialekvation till självadjungerad form. En allmän andra ordningens linjär differentialoperator L kan skrivas

där y är den funktion som operatorn verkar på, x är den oberoende variabeln, samt a, b och c är tre godtyckliga funktioner av x som utgör operatorns koefficienter. I litteraturen används ofta det förkortade skrivsättet , där man undertryckt att L formellt sett är en högre ordningens funktion som verkar på den obekanta funktionen y samt att y i sin tur har x som oberoende variabel, men det är huvudsakligen av tradition.

Den ekvation som omskrivs är konkret ekvationen att y är en egenfunktion till L, det vill säga att

för alla x

för någon konstant λ. Omskrivningen består i huvudsak av att man slår ihop - och -termerna genom att multiplicera med en integrerande faktor, på samma sätt som vid lösning av linjära differentialekvationer av första ordningen. Låt vara en funktion sådan att , alltså en integrerande faktor; då är

och blir alltså ekvivalent med

Här kan man lätt identifiera att och .

Termen självadjungerad form kommer sig av att operatorn L visar sig vara självadjungerad som operator på ett inre produktrum av funktioner om den inre produkten är viktad med funktionen w; beviset av detta består i huvudsak av två steg partiell integration, vilket kan utföras helt generellt tack vare operatorns form. Argumentet förutsätter dock att funktionerna ifråga också uppfyller lämpliga randvillkor.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

En form av Sturm–Liouvilles ekvation som ofta förekommer är:

med randvillkoren . Den uppkommer bland annat när man löser vågekvationen – till exempel när man vill se hur en vanlig sträng beter sig när den satts i svängning – och uppkommer också i kvantmekaniken ("partikel i låda"), och har lösningarna (innan randvillkoren applicerats):

Randvillkoren tillsammans med lösningen ovan leder till de ytterligare villkoren för något heltal n, och Bλ=0. Konstanten Aλ måste sedan bestämmas på annat sätt.