Sylvesters sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Sylvesters sats är en matematisk sats uppkallad efter matematikern James Joseph Sylvester som lyder Om man har en ändlig punktmängd i planet, , där alla punkter inte ligger längs en linje så finns det en linje som skär exakt två punkter.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Figur 1: Vårt valda par
Figur 2: Motsägelse, då

Bildar mängden som är mängden av alla linjer i planet som skär minst två punkter i . Tar sedan ett par , där är en punkt i , är en linje i och där inte går igenom , så att avståndet mellan och är det minsta möjliga.

Påstår att om vi valt rätt och enligt ovan så kommer att skära exakt två punkter och satsen skulle därmed vara uppfylld.

Om inte skär två punkter så måste den skära fler punkter i . Om vi väljer och där går genom exempelvis tre punkter, se figur 1. Då uppstår en motsägelse i och med att om vi istället tar linjen och punkten enligt figur två så blir avståndet större än avståndet och därmed uppfyller inte kravet på att de skulle ha minsta möjliga avstånd mellan dem.