Banachs fixpunktssats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Banachs fixpunktssats, är en matematisk sats inom analysen som säger att en kontraktionsavbildning alltid har en unik fixpunkt. Satsen är uppkallad efter Stefan Banach som formulerade den 1922.[1]

Banachs fixpunktssats[redigera | redigera wikitext]

Om (X,d) är ett fullständigt metriskt rum med X \neq \varnothing och T en avbildning,  T:X \to X . Om T är en kontraktionsavbildning, dvs det existerar ett positivt reellt tal  a < 1 så att

 d(Tx, Ty) \leq a d(x,y)

för alla x och y i X. Då har T exakt en fixpunkt, dvs det existerar exakt ett x i X så att

 Tx = x.\,

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Välj ett godtyckligt  x_0 \in X och konstruera sedan följden  (x_n) genom:

 x_1 = Tx_0
 x_2 = Tx_1 = T^2x_0
 x_n = Tx_{n-1} = T^n x_0

T är en kontraktionsavbildning fås att:

d(x_{n+1}, x_n) = d(Tx_n, Tx_{n-1}) \leq a d(x_n, x_{n-1}) = a d(Tx_{n-1}, Tx_{n-2}) \leq ... \leq a^m d(x_0, x_1)

För godtyckliga naturliga tal m och n med  m < n får vi nu, genom triangelolikheten och att a < 1, att:

d(x_m, x_n) \leq d(x_m, x_{m+1})+d(x_{m+1}, x_{m+2})+...+d(x_{n-1}, x_n) \leq (a^m+a^{m+1}+...+a^{n-1})d(x_0, x_1) = a^m \frac{1-a^{n-m}}{1-a} d(x_0,x_1)
d(x_m, x_n) \leq a^m \frac{1-a^{n-m}}{1-a} d(x_0,x_1) \leq \frac{a^m}{1-a}d(x_0, x_1)

Här kan högerledet göras godtyckligt litet, eftersom d(x_0, x_1) är fixt och a^m \to 0 när  m \to \infty. Detta ger att följden (x_n) är en Cauchyföljd och då X är fullständigt finns det ett gränsvärde x så att x_n \to x.

x är i själva verket fixpunkten för T, då

d(x,Tx) \leq d(x,x_m) + d(x_m, Tx) = d(x,x_m) + d(Tx_{m-1}, Tx) \leq d(x,x_m) + ad(x_{m-1}, x)

eftersom d(x, x_m) och d(x_{m-1},x) kan göras godtyckligt litet för stora m (x_m går mot x ger att avståndet går mot noll).

Antag att det finns en annan fixpunkt för T kallad y, då vi får:

0 \leq d(x,y) = d(Tx, Ty) \leq ad(x,y)

a är mindre än 1 ger detta att d(x,y)=0 och därmed att x=y.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Banachs fixpunktssats kan användas till att bevisa många andra satser, däribland inversa funktionssatsen och Picard-Lindelöfs sats om existensen av och unikheten hos lösningar till vissa ordinära differentialekvationer.

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Stefan Banach (1922). ”Sur les opérations dans les ensembles abstracts et leur application aux équations intégrales”. Fundamenta Mathematicae "3": sid. 133-181. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf. Läst 2009-03-21. 

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 
  • Hille, Einar (1976). Ordinary Differential Equations in the Complex Domain. Dover Publications. ISBN 0-486-69620-0