Fixpunkt (matematik)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
En funktion med tre (synliga) fixpunkter.

Inom matematiken är en fixpunkt till en funktion en punkt som avbildas på sig själv, det vill säga en punkt  a sådan att  f(a) = a är en fixpunkt till  f(x) .

För att hitta fixpunkter till en funktion  f(x) kan man lösa ekvationen  f(x) = x .

Alla funktioner har inte fixpunkter, exempelvis är f(x) = x - 1 fixpunktslös. I det fallet beskriver funktionen en linje som är parallell med linjen y = x och linjerna kommer därför aldrig att mötas.

Attraktiva fixpunkter[redigera | redigera wikitext]

Fixpunktsiteration för cosinus med begynnelsevärde -1

En attraktiv fixpunkt till en funktion  f är punkt  x_0 sådan att för varje  x i definitionsmängden till  f som är tillräckligt nära  x_0 konvergerar serien:

x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), ...\,

till  x_0 .

Cosinus har en fixpunkt och den är attraktiv. "Tillräckligt nära" i det här fallet innebär alla reella tal. Serien kommer för cosinus att konvergera mot 0,73909... Dock är inte alla fixpunkter attraktiva, till exempel så har funktionen  f(x) = 2x en fixpunkt i  x_0 = 0 , men i alla närheter av  x_0 (förutom just i  x_0 ) kommer funktionen att avlägsna sig från  x_0 istället för att närma sig.

En fixpunkt  x_0 är garanterat attraktiv om  f är kontinuerligt deriverbar i en omgivning till  x_0 och  |f\;' (x_0)| < 1 ,

Fixpunktssatser[redigera | redigera wikitext]

Det finns många fixpunktssater som garanterar att det finns en fixpunkt till en funktion under vissa omständigheter. Exempelvis Brouwers fixpunktssats och Borels fixpunktssats

Relaterade koncept[redigera | redigera wikitext]