Kontraktionsavbildning

Kontraktionsavbildning, inom matematiken en avbildning där avståndet mellan två punkter före avbildningen är större än avståndet mellan dem efter avbildningen. Avbildningarna aktualiserades i slutet av 1980-talet, speciellt i form av itererande funktionssystem, eftersom de kan representera bilder med naturliga utseenden.

Definition

En avbildning $f:X\rightarrow X$ kallas för kontraktionsavbildning för det metriska rummet $X$ med metriken $d$, om för alla $x, y \in X$,

$d(f(x), f(y)) \leq k\cdot d(x,y)$

för en reell konstant $0 < k < 1$.

Man kan definiera en kontraktionsavbildning mellan två olika metriska rum, $(X, d_X)$ och $(Y, d_Y)$, som en avbildning $f:X \to Y$ där det finns ett k, $0 < k < 1$, så att för alla $x_1, x_2$ i X:

$d_Y(f(x_1), f(x_2)) \leq k d_X(x_1, x_2)$

Egenskaper

Varje kontraktionsavbildning är Lipschitzkontinuerlig och därmed även likformigt kontinuerlig.

En viktig egenskap för kontraktionsavbildningar är att det finns exakt en punkt $x_f$ som är invariant under avbildning $f(x_f) = x_f$. Givet en avbildning $f$, så kommer alla punkter att transformeras till denna punkt (Banachs fixpunktssats) Detta betyder att om punkten $x_f$ representerar en av alla möjliga bilder i "bildmängden" $X$, finns det en avbildning $f(x)$ som kan representera bilden. Problemet är då att finna den rätta kontraktionsavbildningen som kan reproducera bilden.