Kontraktionsavbildning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kontraktionsavbildning, inom matematiken en avbildning där avståndet mellan två punkter före avbildningen är större än avståndet mellan dem efter avbildningen. Avbildningarna aktualiserades i slutet av 1980-talet, speciellt i form av itererande funktionssystem, eftersom de kan representera bilder med naturliga utseenden.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En avbildning f:X\rightarrow X kallas för kontraktionsavbildning för det metriska rummet X med metriken d, om för alla x, y \in X,

d(f(x), f(y)) \leq k\cdot d(x,y)

för en reell konstant 0 < k < 1 .

Man kan definiera en kontraktionsavbildning mellan två olika metriska rum, (X, d_X) och (Y, d_Y), som en avbildning  f:X \to Y där det finns ett k,  0 < k < 1 , så att för alla  x_1, x_2 i X:

d_Y(f(x_1), f(x_2)) \leq k d_X(x_1, x_2)

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Varje kontraktionsavbildning är Lipschitzkontinuerlig och därmed även likformigt kontinuerlig.

En viktig egenskap för kontraktionsavbildningar är att det finns exakt en punkt x_f som är invariant under avbildning f(x_f) = x_f. Givet en avbildning f, så kommer alla punkter att transformeras till denna punkt (Banachs fixpunktssats) Detta betyder att om punkten x_f representerar en av alla möjliga bilder i "bildmängden" X, finns det en avbildning f(x) som kan representera bilden. Problemet är då att finna den rätta kontraktionsavbildningen som kan reproducera bilden.