Borelmått

Ett Borelmått är inom matematik ett mått så att alla Borelmängder är mätbara, uppkallat efter franske matematikern Émile Borel.

Formell definition

Låt $(X,\mathcal{T})\,$ vara ett topologiskt rum och $\mathcal{F}\,$ en sigma-algebra i X. Då är ett mått

$\mu : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]$

Borel om alla Borelmängder är mätbara. Mer precist,

$\mbox{Bor}\,X := \sigma(\mathcal{T}) \subset \mathcal{F}.$

Borel yttre mått

Låt $(X,\mathcal{T})\,$ vara ett topologiskt rum, då ett yttre mått $\mu^*\,$ är Borel om alla Borelmängder är $\mu^*\,$-mätbara:

$\mbox{Bor}\,X := \sigma(\mathcal{T}) \subset \mathcal{M}_{\mu^*}(X).$

Om X är ett metriskt rum så är ett yttre mått Borel om och endast om det är metriskt yttre mått.

Konstruktion för vissa Borel yttre mått

Huvudartikel: Carathéodorys konstruktion.

I ett metriskt rum kan man alltid konstruera ett naturligt Borel yttre mått med hjälp av den metriska strukturen. Den här konstruktionen är viktig eftersom vi kan konstruera den i alla metriska rum.

Exempel

Lebesguemåttet, Yttre Lebesguemåttet, Hausdorffmåttet och Yttre Hausdorfmåttet är Borel.

Se även

• Mått
• Yttre mått