Cesàrosummering

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Cesàrosummering är inom matematisk analys en summeringsmetod för serier. Cesàrosummering kan användas på konvergenta serier, men kan även användas för tilldela ett värde till vissa divergenta serier[förtydliga]. Alla serier kan dock inte summeras med Cesàros metod, exempelvis fungerar inte metoden på serier som går mot oändligheten.

Cesàrosummering är uppkallat efter den italienske matematikern Ernesto Cesàro.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Ta en följd av komplexa tal (a_k) och definiera serien

\sum_{k=1}^\infty a_k

och dess partiella summor

s_n = \sum_{k=1}^n a_k.

Följden (a_k) kallas Cesàrosummerbar (eller summerbar i Cesàros mening) med Cesàrosumma A om

\lim_{n \to \infty} \frac{s_1 + s_2 + ... + s_n}{n} = A.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Grandis serie

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n

ger följande följd av partiella summor:

1, 0, 1, 0, 1, 0, ...\,

Denna följd konvergerar uppenbarligen inte. Å andra sidan konvergerar följden av Cesàrodelsummor:

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,

och gränsen är

\lim_{n \to \infty} \frac{s_1+s_2+...+s_n}{n} = \frac{1}{2}.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om (a_k) är en följd av tal sådana att deras serie konvergerar till ett tal S:

\sum_{k=1}^\infty a_k = S

Så gäller att följdens Cesàrosumma är samma tal:

\lim_{n \to \infty} \frac{s_1 + s_2 + ... + s_n}{n} = S.

Ovanstående sats har även en omvändning. Om (a_k) definierar en summa med delsummorna (s_k) sådan att

\lim_{n \to \infty} \frac{s_1 + s_2 + ... + s_n}{n} = S.

och det finns tal N och K sådana att

|a_n|<\frac{K}{n} \mbox{ om } n > N

så gäller att

\sum_{k=1}^\infty a_k = S.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Carslaw, H.S. (1921). Introduction to the Theory of Fourier Series and Integrals. London: Macmillan and Co. sid. 238-240 
  • Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer Verlag. ISBN 0-387-00836-5