Cesàrosummering

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Cesàrosummering är inom matematisk analys en summeringsmetod för serier. Cesàrosummering kan användas på konvergenta serier, men kan även användas för tilldela ett värde till vissa divergenta serier. Alla serier kan dock inte summeras med Cesàros metod, exempelvis fungerar inte metoden på serier som går mot oändligheten.

Cesàrosummering är uppkallat efter den italienske matematikern Ernesto Cesàro.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Ta en följd av komplexa tal (a_k) och definiera serien

\sum_{k=1}^\infty a_k

och dess partiella summor

s_n = \sum_{k=1}^n a_k.

Följden (a_k) kallas Cesàrosummerbar (eller summerbar i Cesàros mening) med Cesàrosumma A om

\lim_{n \to \infty} \frac{s_1 + s_2 + ... + s_n}{n} = A.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Grandis serie

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n

ger följande följd av partiella summor:

1, 0, 1, 0, 1, 0, ...\,

Denna följd konvergerar uppenbarligen inte. Å andra sidan konvergerar följden av Cesàrodelsummor:

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,

och gränsen är

\lim_{n \to \infty} \frac{s_1+s_2+...+s_n}{n} = \frac{1}{2}.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om (a_k) är en följd av tal sådana att deras serie konvergerar till ett tal S:

\sum_{k=1}^\infty a_k = S

Så gäller att följdens Cesàrosumma är samma tal:

\lim_{n \to \infty} \frac{s_1 + s_2 + ... + s_n}{n} = S.

Ovanstående sats har även en omvändning. Om (a_k) definierar en summa med delsummorna (s_k) sådan att

\lim_{n \to \infty} \frac{s_1 + s_2 + ... + s_n}{n} = S.

och det finns tal N och K sådana att

|a_n|<\frac{K}{n} \mbox{ om } n > N

så gäller att

\sum_{k=1}^\infty a_k = S.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Carslaw, H.S. (1921). Introduction to the Theory of Fourier Series and Integrals. London: Macmillan and Co. sid. 238-240 
  • Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer Verlag. ISBN 0-387-00836-5